Повторные независимые испытания - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Высшая математика мини-справочник для ВУЗов

Повторные независимые испытания - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Ряд испытаний будем называть независимыми по отношению к событию А, если вероятность наступления А в каждом испытании не зависит от результатов прочих испытаний.

Например, выпадение «шестерки» при бросании игральной кости. Вероятность выпадение «шестерки» при каждом бросании не зависит от того, сколько раз она выпадала в других испытаниях.

Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Тогда вероятность Рn(m) того, что в серии из п испытаний событие А произойдет ровно m раз (0 ≤ m ≤ n), определяется формулой



где q = 1 - р, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙ n.

Наиболее вероятное число появлений события А в серии из n испытаний m0 удовлетворяет соотношению

nр - q ≤ m0 ≤ nр + р.

При больших значениях п вероятность Pn(m) приближенно определяется по формуле (локальная теорема Лапласа)

где

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании достаточно мала, а п велико (рn < 10), то

где λ = nр (формула Пуассона).

Вероятность того, что в серии из п испытаний число m наступлений события А окажется заключенным в границах от m1 до m2 для достаточно больших л, находится по формуле (интегральная теорема Лапласа)

где


Свойства функции Ф(х):

1. Функция Ф(х) нечетная, то есть

Ф(-x) = -Ф(x).

2. Функция Ф(x) монотонно возрастающая, если x2 > x1, то Ф(х2) > Ф(x1).

3. Для достаточно больших х (х > 5) можно считать Ф(x) ≈ 1.