Теорема сложения вероятностей - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Высшая математика мини-справочник для ВУЗов

Теорема сложения вероятностей - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей изучает закономерности однородных массовых случайных явлений.

Испытанием называется всякое действие, которое предпринимается с определенной целью. Всякий результат испытания называется событием.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при наличии данной совокупности условий. Например, закипание воды при температуре 100 градусов и при нормальном атмосферном давлении, падение вниз брошенного вверх тела, возгорание бумаги при повышении ее температуры до температуры возгорания.

Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдет при наличии данной совокупности условий. Например, закипание воды при температуре ноль градусов, извлечение белого шара из урны, содержащей только черные шары, уменьшение длины металлической проволоки при ее нагревании.

Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти при наличии данной совокупности условий. Например, выпадение герба при бросании монеты, извлечение наугад туза из колоды карт, поражение цели при выстреле из орудия.

Два события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Например, попадание в мишень и непопадание в мишень. Если наступление одного события не исключает возможность наступления другого, то такие события называются совместимыми. Например, выпадение четного числа и числа кратного трем, при бросании игральной кости (при выпадении «шестерки» эти события наступают одновременно). Несовместимость более двух событий означает их попарную несовместимость.

Два несовместимых события, одно из которых обязательно должно наступить, называются противоположными. Например, выпадение четного или нечетного числа при бросании игральной кости. Событие, противоположное событию А, обозначается (читается «не А»).

Совокупность событий образует полную группу событий, если все события этой совокупности несовместимы и единственно возможны. Другими словами, обязательно произойдет одно из событий данной совокупности. Например, выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки или шестерки при бросании игральной кости.

В теории вероятности события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т. д.

Допустим, проводится испытание, результатом которого может быть один из некоторой совокупности исходов. Если результатом данного испытания может быть только один исход из данной совокупности, тогда все исходы данной совокупности являются единственно возможными. Если, ни один из исходов данной совокупности исходов не является более возможным, чем другие, то все исходы этой совокупности называются равновозможными. Если результатом рассматриваемого испытания может быть наступление только одного исхода из данной совокупности, то эти исходы называются несовместимыми.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) наступления события А называется отношение числа благоприятствующих наступлению данного события исходов т к числу всех несовместимых, единственно возможных и равновозможных исходов испытания n.

Пример. Пусть испытание заключается в бросании игральной кости (кубика, имеющего форму куба, все грани которого пронумерованы числами от 1 до 6).

Определим вероятность события А, которое заключается в выпадении нечётного числа. Совокупность несовместимых, единственно возможных и равновозможных исходов состоит из исходов, заключающихся в выпадении единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки (всего шесть исходов, то есть n = 6). Число исходов, благоприятствующих наступлению рассматриваемого со бытия m = 3 (выпадение единицы, тройки или пятерки). Следовательно вероятность рассматриваемого события

Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события А больше нуля и меньше единицы: 0 < Р(А) < 1.

Суммой двух событий А и В (обозначается А + В) называется событие, состоящее в наступлении события А или события В или событий А и В одновременно.

Например, если событие А — выпадение четного числа при бросании игральной кости, а событие В — выпадение числа, кратного трем, то событие А + В будет заключаться в выпадении или четного числа, или числа, кратного трем, или числа четного и кратного трем одновременно, то есть в выпадении 2, 3, 4, 6.

Суммой любого конечного числа событий является событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из суммируемых событий.

Произведением двух событий А и В (обозначается А ∙ В) называется событие С, состоящее в совместном наступлении событий А и В.

Например, если событие А — выпадение четного числа при бросании игральной кости, а событие В — выпадение числа, кратного трем, то событие А ∙ В будет заключаться в выпадении четных чисел, кратных трем, то есть в выпадении числа 6.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что наступят все перемножаемые события.

События A и В называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность другого.

События А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого.

События А1, А2, ..., Аn называются попарно независимыми, если любые два из них являются независимыми.

События А1, А2, ..., Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе.

Будем называть число М появлений события А в серии из N испытаний частотой события А, а отношение M/N будем называть относительной частотой события А.

В сериях с небольшим количеством испытаний N относительная частота события подвергается сильным колебаниям. При переходе к сериям с большим количеством испытаний N колебания относительной частоты сглаживаются и относительная частота постепенно принимает некоторое устойчивое значение.

Статистической вероятностью называют постоянную величину, около которой группируются наблюдаемые значения относительной частоты.


10.1. Теорема сложения вероятностей


Теорема о сумме двух несовместимых событий. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Эту теорему легко обобщить на случай суммирования любого конечного числа независимых событий:

Р(А1 +А2 +...+ Аn) = P(A1) + Р(А2) +...+ Р(Аn).

Теорема о сумме двух совместимых событий. Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В).

Следствия из теоремы сложения вероятностей:

1. Сумма вероятностей событий А1, А2, ..., Аn, образующих полную группу, равна единице.

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице