Точки разрыва - ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Высшая математика мини-справочник для ВУЗов

Точки разрыва - ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Если нарушено хотя бы одно из условий непрерывности функции в некоторой точке, то говорят, что в этой точке функция терпит разрыв. А сама эта точка называется точкой разрыва. Существуют три типа точек разрыва.

1. Точка устранимого разрыва. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если существует предел но в самой точке функций или не определена, или

Пример. Функция в точке х0 = 0 имеет устранимый разрыв, так как она не определена в этой точке, хотя соответствующий предел существует

Разрыв в точке х0 = 0 можно устранить, доопределив функцию и положив у(0) = 1.

Поэтому такие точки называются точками устранимого разрыва.

2. Точка разрыва первого рода. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы Разность этих пределов называют скачком функции.

Пример.

Функция

График этой функции имеет вид



Рис. 6


Имеем

3. Точка разрыва второго рода. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов или

Пример. Функция в точке x0 = 1 имеет левый односторонний предел а правый односторонний предел следовательно точка x0 = 1 есть точка разрыва второго рода.