Объем наклонной призмы - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- вывести формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла;

- показать применение полученной формулы для решения задач;

- сформировать навык по нахождению объема наклонной призмы.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка домашнего задания. Вывод формулы у доски.

II. Теорема об объеме наклонной призмы

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство:

Рис. 1 на слайде (или ватм. лист).

1) Рассмотрим треугольную призму с объемом V и площадью основания S, высотой h.

Точка О принадлежит одному из оснований призмы, направим ось ох перпендикулярно основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельно плоскости основания.

х - абсцисса точки пересечения этой плоскости с осью ох, площадь полученного сечения - S(x).

ΔАВС (основание призмы) = ΔА1В1С1 (сечение призмы), так как AА1В1В - параллелограмм

Аналогично: значит, равенство треугольников вытекает по 3 признаку (3 стороны);

S(x) = S.

По основной формуле:

2) Докажем для любой призмы с высотой h и площадью основания S.

Разбиваем призму на 3 призмы с общей высотой h. Выразим объем каждой призмы и сложим их. Вынося h за скобки, получаем сумму площадей оснований 3-угольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Имеем: V = S · h.

III. Решение задач: № 682,680, 676.

Дома: п. 68, № 681, 683.

Решение задач у доски.

Задача № 676.

Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см, а боковое ребро равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол 60°.

Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, ВВ1 = 8 см, ∠B1BK = 60° (рис. 2).

Найти: Vnp. - ?

Решение.

1) (ф-ла Герона).

2) ΔBB1H - прямоугольный, так как В1Н - высота. В1Н = ВВ1 · sin60°;

3)

(Ответ: Vnp. = 192√3 см3.)

Задача № 680.

Основанием наклонной призмы является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найти объем призмы.

Дано: АВСDА1В1С1D1 - призма, ABCD - прямоугольник, АВ = а, AD = b, АА1 = с. ∠A1AD = ∠A1AB = φ (рис. 3).

Найти: Vnp.

Решение:

1) ∠A1AD = ∠A1AB, значит, точка А1 проецируется на биссектрису ∠А. А1O ⊥ (ABC), АО - биссектриса ∠A.

3) ΔAA1M - прямоугольный, АМ = С · соsφ.

4) ΔАОМ - прямоугольный,

(Ответ: )

Задача № 682.

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы, плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и их пересекающей.

Или перпендикулярного ему сечения (рис. 4).

Доказательство:

1) (МЕК) - плоскость перпендикулярного сечения призмы, (ABC) - плоскость основания. (МЕК) ∩ (ABC) по прямой PQ. АА1 ⊥ (МЕК), ⇒ АА1 ⊥ PQ.

2) Проведем высоту А1О - призмы, А1О ⊥ PQ.

3) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

4) (АА1О) || PQ в точке Н, ∠AHM - линейный угол двугранного угла ∠QPM. ∠AHM = φ, тогда ∠MAH = 90° - φ.

5) ΔМЕК - ортогональная проекция ΔАВС на плоскость перпендикулярного сечения.

6) (APQ) ⊥ (АМН), так как (APQ) проходит через PQ, перпендикулярно (АМН).

7) Из ΔАА1O:

8)

Что и требовалось доказать.

Произвольная призма состоит из треугольных призм, следовательно,

IV. Групповая работа по готовым чертежам

Оценивается работа всей группы, задаются теоретические вопросы в качестве проверки знания теоретического материала и дополнительного задания.

1. Дано: ВВ1С1С - ромб, B1С ⊥ (ABC), В1С = 3, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 5 (рис. 5).

Найти: Vnp.

Решение:

1) (по условию).

2)

3) ∠B1CK = 90° (по определению угла между прямой и плоскостью); В1С = 3. (Ответ: )

2. Дано: АВ = АС = 3 см; ВС = 2 см; АА1 = 4 см; ∠А1АН = 45°. Vnp. = Vкуба. (рис. 6).

Найти: а - ребро куба.

Решение:

1) по формуле Герона;

2) AK ⊥ BС; M ∈ АК; ΔАА1Н - прямоугольный,

(Ответ: а = 2 см.)

3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - призма; ABCD - прямоугольник; АВ = 6 см; AD = 8 см, AA1B1B - квадрат; ∠KHF = 60° (рис. 7).

Найти: Vnp - ?

Решение:

1.

2. КО - высота призмы; ΔКОН - прямоугольный,

3.

(Ответ: 144√3 см3.)

V. Подведение итогов

- Напишите формулу для определения объема наклонной призмы.

Проверка решений задач;

Выставление оценок.