Вариант № 16 - Учебно-тренировочные тесты - МАТЕМАТИКА ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Часть 1

В1. Футболка стоила 600 рублей. После снижения цены она стала стоить 330 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

В2. На рисунке 96 точками показано суточное количество осадков, выпадавших с 11 по 23 сентября. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков в миллиметрах, выпавшее в соответствующий день. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 4 миллиметра осадков.

Рис. 96.

В3. Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной плоскости (см. рис. 97).

Рис. 97.

В4. В среднем гражданин Д. в дневное время расходует 150 кВт∙ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 70 кВт∙ч электроэнергии. Раньше у Д. в квартире был установлен однотарифный счётчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,80 руб. за кВт∙ч. Год назад Д. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,80 руб. за кВт∙ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 1,10 руб. за кВт∙ч.

В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы Д. за этот период, если бы не поменялся счётчик? Ответ дайте в рублях.

В5. Найдите корень уравнения

В6. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = √153, ВС = 12. Найдите котангенс внешнего угла при вершине А.

В7. Найдите значение выражения

В8. На рисунке 98 изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (—10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Рис. 98.

В9. В правильной четырёхугольной пирамиде (см. рис. 99) высота равна 5, боковое ребро равно 13. Найдите её объём.

Рис. 99.

В10. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

В11. В цилиндрический сосуд налили 3000 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см (см. рис. 100). В воду полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см³.

Рис. 100.

В12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле T(t) = Т₀ + bt + at², где t — время в минутах, Т₀ = 1492 К, a = —17 К/мин², b = 153 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1730 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите наибольшее время после начала работы прибора, через которое его нужно отключить. Ответ выразите в минутах.

В13. В результате смешивания 25%-го и 15%-го растворов серной кислоты получили 750 г 20%-го раствора. Сколько граммов 15%-го раствора было взято?

В14. Найдите наибольшее значение функции у = ln (x + 4)⁵ — 5х на отрезке [-3,5; 0].

Часть 2

С1. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (4π/3; 4π].

С2. Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α, Под каким углом наклонены к плоскости основания боковые рёбра пирамиды?

С3. Решите неравенство log₂ х + 2 log_x 2 < 3.

С4. Расстояние от центра описанной окружности равнобедренного треугольника до его основания равно 1. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника, если его боковая сторона равна 2√6.

С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ровно один из корней уравнения х² + (3а — 1)x + 2а + 3 = 0 принадлежит промежутку [-1; 4).

С6. а) Какое наименьшее количество клеток нужно закрасить в квадрате 10х10, чтобы в каждом квадрате 4x4 было ровно две закрашенных клетки? Какое наибольшее количество клеток можно закрасить указанным образом?

б) Какое наименьшее количество клеток нужно закрасить в квадрате mxm, чтобы в каждом квадрате kхk было ровно две закрашенных клетки? Считать, что m ≠ ck + 1 для любого с ∈ N,m ≥ k.

в) А какое наибольшее количество (для условий пункта б)?