ПОВТОРЕНИЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ - СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цель деятельности учителя

Создать условия для повторения основных задач на построение; совершенствовать навыки решения задач на построение

Термины и понятия

Построение угла, равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикулярных прямых, середины отрезка

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера

Познавательные: умеют планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить основные задачи на построение

(Ф/И)

1. Шесть учеников выполняют у доски следующие задания:

1) на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному;

2) отложить от данного луча угол, равный данному;

3) построить биссектрису данного неразвернутого угла;

4) построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка;

5) построить середину данного отрезка;

6) построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, не проходящей через данную точку.

2. Пока учащиеся у доски готовятся, класс выполняет дифференцированные задания.

Построить треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и прилежащим к ней углам;

3) по трем сторонам

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач на построение

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачу № 353 на доске и в тетрадях.

2. Решить самостоятельно задачи № 354, 360, 362 (одну задачу решить по полной схеме)

№ 353.

Анализ (см. рис. 1):

Пусть X - искомая точка, то есть АХ = ХВ, тогда ΔАХВ - равнобедренный и XY - медиана, высота и биссектриса. Отсюда получаем план построения. План построения:

1) Построить точку Y - середину АВ.

2) Построить прямую, проходящую через Y и перпендикулярную АВ.

3) Прямая b пересекается с окружностью в точках Х и Z. X и Z - искомые точки.

Построение (см. рис. 2):

Доказательство: ΔAYX = ΔBYX по двум катетам (они прямоугольные, так как YX ⊥ АВ, AY = YB, так как Y - середина АВ), тогда АХ = ВХ, то есть точка X лежит на данной окружности и равноудалена от концов отрезка АВ. Таким же образом можно доказать, что точка Zудовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование:

Задача может иметь:

а) два решения (см. план построения и построение);

б) одно решение, если прямая b имеет одну общую точку с окружностью (касается ее) (рис. 3);

в) ни одного решения, если прямая b не имеет общих точек с окружностью (рис. 4).

№ 354.

Соединяем точки А, В и С. Находим середины отрезков АВ, ВС и АС, соответственно К, L и М Проводим перпендикуляры (серединные перпендикуляры ΔАВС). Находим точку О - их точку пересечения. Проводим окружность радиуса АО = ВО = СО с центром в точке О. Вокруг треугольника всегда можно описывать окружность, поэтому задача не имеет решения, лишь когда точки лежат на одной прямой.

№ 360.

Проводим прямую а. Отмечаем на ней точку А - одну из вершин нашего треугольника, на прямой откладываем отрезок, равный периметру треугольника. На прямой b откладываем отрезок AH, равный высоте треугольника. Строим заданный ∠a с вершиной в точке А. Проводим прямую с ⊥ b, Н ⊥ с. Обозначим точку пересечения с со стороной ∠a - В. От точки К откладываем на прямой а отрезок, равный АВ - КС. Соединяем В и С. АВС - искомый треугольник.

№ 362.

Пусть надо построить ΔАВС, и даны ∠PQR и отрезки В₁С₁, равный стороне треугольника, и MN, равный сумме двух других сторон треугольника (см. рис. а). Проведем произвольную прямую а, отметим на ней точку В и точку X (см. рис. б). От луча ВХ отложим угол XBL, равный углу PQR (см. пункт 23учебника). От точки В отложим отрезок, равный данному отрезку В₁С₁. Построим биссектрису ВК угла LBC (см. пункт 23учебника). Построим окружность С радиусом, равным MN, и центром С, она пересечет луч ВК в точке О. Отложим от луча ВК ∠KBF, равный углу ВКС. Луч BF пересечет СО в точке A. Треугольник АВС - искомый, докажем это.

∠KAB = ∠ABC + ∠ACB (как внешний).

ΔКАВ - равнобедренный (так как ∠BKA = ∠KBA по построению).

Значит,

(так как ВК - биссектриса угла LBC).

АВ = АК, так как ΔКВА - равнобедренный, значит, MN = КА + АС = АВ + АС, следовательно, наши построения верны

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Какой этап в задачах на построение у вас вызывает наибольшее затруднение?

- Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: решить задачи № 352, 356, 361 (одну задачу решить по полной схеме)