Умножение разности двух выражений на их сумму - РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Група в ViberГрупа в Facebook

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Умножение разности двух выражений на их сумму - РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: ознакомить с формулой для нахождения разности квадратов и ее применением.

Планируемые результаты: освоить умножение разности двух выражений на их сумму.

Тип уроков: урок-исследование, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Преобразуйте в квадрат двучлена трехчлен:

2. Докажите неравенство

Вариант 2

1. Преобразуйте в квадрат двучлена трехчлен:

2. Докажите неравенство

III. Работа по теме урока

Приведем еще одну формулу сокращенного умножения:

которая позволяет быстро умножать разность и сумму одних и тех же чисел а и b.

Выведем эту формулу.

Алгебраический способ

Умножим разность чисел а - b на их сумму а + b. Получаем

Геометрический способ

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.

Стороны прямоугольника ABCD равны: АВ = а + b и AD = а - b (для определенности считаем, что а, b > 0 и а > b), и его площадь S = AD ∙ АВ = (а - b)(а + b). Этот прямоугольник состоит из прямоугольников AEND и EBCN. Прямоугольник EBCN равен прямоугольнику KLNF. Поэтому площадь S равна площади фигуры AENFKLD, которая равна разности площадей квадратов AEFG (со стороной а) и DLKG (со стороной b), т. е. S = а2 - b2. Приравняв два выражения для площади S, получаем равенство

В соответствии с тождеством (1) произведение разности чисел (выражений) и их суммы равно разности квадратов этих чисел (выражений). Тождество (1) широко используется при алгебраических преобразованиях выражений.

Пример 1

Перемножим числа 47 и 53, записав их в виде разности и суммы двух чисел: 47 = 50 - 3 и 53 = 50 + 3. Используя формулу (1), получаем

Пример 2

Сравним числа

Получаем

Тогда число А имеет следующий вид:

Изменим порядок умножения сомножителей, перемножив сначала два крайних числа, а затем два средних. Получаем

Используя формулу (1), имеем

Очевидно, что в таком произведении каждый множитель меньше числа 1462, т. е. 1462 - 52 < 1462 и 1462 - 22 < 1462. Поэтому произведение меньше Таким образом, число А меньше числа В, т. е. А < В.

Пример 3

Перемножим выражения 4а – 5b и 4а + 5b.

Используя формулу (1) и правила действий со степенями, получаем

Пример 4

Представим в виде многочлена выражение (3а3 – 2b2)(3а3 + 2b2).

Используя формулу (1), получаем

Пример 5

Перемножим выражения -6а – 5b и 6а – 5b.

В первом выражении -6а – 5b вынесем за скобки число (-1) и получим

Заметим, что преобразование можно выполнить и сразу:

Пример 6

Упростим выражение

Раскроем скобки, а для первого произведения используем формулу (1). Получаем

IV. Задания на уроках

№ 854 (в, д), 855 (б, г), 857 (г), 858 (а), 859 (в, г), 861 (а, г, ж), 862 (в), 867 (б), 869 (а, д), 873 (а, д).

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти произведение разности и суммы двух выражений, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу произведения разности и суммы двух выражений алгебраическим способом.

— Выведите формулу произведения разности и суммы двух выражений геометрическим способом.

VI. Творческие задания

1. Выполните действия:

Ответы: а) 9991; б) 99 660 025; в) 999 600; г) 38 - 1; д) 216 - 1 (умножить выражение на 2 - 1 = 1); е) а8 – b8; ж) b8 - с8 (изменить порядок умножения); з) 2а4.)

2. Сравните числа:

(Ответ: первые числа меньше, чем вторые.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 854 (б, е), 855 (в, д), 857 (д), 858 (б), 859 (ж, з), 861 (б, д, з), 862 (г), 867 (д), 869 (б, е), 873 (б, е).






Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Все материалы доступны по лицензии Creative Commons — «Attribution-NonCommercial»

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2019 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.