Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений - КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Група в ViberГрупа в Facebook

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений - КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: вывести формулы для возведения в квадрат суммы и разности выражений.

Планируемые результаты: научиться пользоваться формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Тип урока: урок проблемного изложения.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

При перемножении многочленов и приведении их к стандартному виду, а также при решении многих других задач очень полезными оказываются формулы сокращенного умножения.

Прежде всего, рассмотрим формулы для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.

(квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения);

(квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения).

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы, тождество (2) — формулой квадрата разности. Эти формулы позволяют возводить в квадрат сумму или разность любых двух чисел (выражений). Формулы (1) и (2) можно получить алгебраическим и геометрическим способами.

Выведем формулу

Алгебраический способ

По определению Перемножим эти многочлены:

Геометрический способ

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а + b. Очевидно, что его площадь равна (а + b)2. Теперь на расстоянии а от вершины В проведем прямые EN и FM, параллельные сторонам квадрата. Эти прямые разбили нашу фигуру на квадрат BFOE (со стороной а и площадью а2), квадрат OMDN (со стороной b и площадью b2) и два прямоугольника АЕОМ и FONC (со сторонами а и b и площадью ab).

Так как эти четыре фигуры полностью расположены внутри исходного квадрата, то сумма их площадей а2 + b2 + 2ab равна площади большого квадрата (а + b)2. Поэтому получаем

Заметим, что формула квадрата суммы была получена древнегреческими математиками еще до нашей эры (более 2000 лет назад) именно геометрическим способом. Видно, что применение алгебры позволяет значительно упростить и ускорить вывод формул.

Теперь выведем формулу

Алгебраический способ

По определению Перемножим эти многочлены:

Приведем подобные члены и получим

Заметим, что эту формулу можно вывести и из формулы (1), заменив операцию вычитания операцией сложения: a - b = a + (-b). Тогда получаем

Геометрический способ

Будем считать, что а > b. Рассмотрим квадрат A BCD со стороной а. Очевидно, что его площадь равна а2.

Теперь на расстоянии b от вершины В проведем прямые EN и FM, параллельные сторонам квадрата. Эти прямые разбили фигуру на квадрат В FOE (со стороной b и площадью b2), квадрат OMDN(со стороной а - b и площадью (а - b)2) и два прямоугольника ABFM и BCNE (со сторонами а и b и площадью ab).

Площадь квадрата OMDN (равную (а - b)2) найдем, если из площади квадрата ABCD (равной а2) вычтем площади двух прямоугольников ABFM и BCNE (каждая из которых равна ab) и добавим площадь квадрата BFOE (равную b2). В итоге получаем

Рассмотрим примеры применения формул квадрата суммы и квадрата разности.

Пример 1

Возведем в квадрат число 52.

Запишем число 52 в виде 52 = 50 + 2 и используем формулу квадрата суммы:

Пример 2

Возведем в квадрат число 49.

Запишем число 49 в виде 49 = 50 - 1 и используем формулу квадрата разности:

Пример 3

Возведем в квадрат сумму 5а + 3b. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 4

Возведем в квадрат разность 7а – 2b. По формуле квадрата разности имеем

Пример 5

Докажем, что выражение не зависит от а, и найдем величину А.

Запишем выражение А в виде

Очевидно, что выражение A является квадратом разности чисел (а - 4) и (а + 8). Получаем

Действительно, выражение А не зависит от а; А = 144.

Пример 6

Упростим выражение

Используем формулу квадрата суммы, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем

III. Задания на уроке

№ 799 (а, г, д), 803 (б, в), 806 (а), 810 (в, г), 812 (а, б), 814 (а, в), 818 (в, г), 823 (в), 824 (б).

IV. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу квадрата суммы алгебраическим способом, а затем геометрическим способом.

— Сформулируйте словами, как найти квадрат разности, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу квадрата разности алгебраическим способом, а затем геометрическим способом.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 799 (б, в, е), 803 (а, е), 806 (б), 810 (д, е), 812 (г, д), 814 (б, г), 818 (а, б), 823 (г), 824 (г).






Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Все материалы доступны по лицензии Creative Commons — «Attribution-NonCommercial»

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2019 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.