Зачет по теме Степень с натуральным показателем - ОДНОЧЛЕНЫ - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Група в ViberГрупа в Facebook

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Зачет по теме Степень с натуральным показателем - ОДНОЧЛЕНЫ - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цели: сравнить успеваемость учащихся при одинаковой сложности заданий; иметь возможность повысить оценки за выполненные контрольные работы.

Тип уроков: уроки контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Общая характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. Соответственно, у учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи представлены в блоке А, более сложные — в блоке В, еще сложнее — в блоке С. Каждая задача из блока А оценивается 1 баллом, из блока В — 2 баллами, из блока С — 3 баллами. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В — 8 баллов и блока С — 9 баллов (всего 24 балла). Оценка “3” ставится за 6 баллов, оценка “4” — за 10 баллов, оценка “5” — за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Работа рассчитана на два урока.

III. Зачетная работа

Вариант 1

А

1. Вычислите:

2. Найдите значение одночлена 7а3b2с при

3. Докажите, что число 17232576 - 3 является составным.

4. Выполните действия:

5. График функции у = ах2 проходит через точку А (3; 4). Найдите коэффициент а.

6. Составьте таблицу значений функции у = (х + 1)2 в промежутке -3 ≤ х ≤ 1 с шагом 0,5 и постройте график функции.

7. Сравните числа

В

8. Определите последнюю цифру числа 327153 + 536164.

9. Сколько сомножителей (слагаемых) находится в правой части равенства:

10. График функции у = ах2 + b проходит через точки А (0; 3) и В (2; -3). Найдите величины а и b.

11. Постройте график функции

С

12. Докажите, что число 3 + 32 + 33 + ... + 3120 без остатка делится на 5.

13. Выполните действия:

14. Постройте график уравнения |у - х2| = 2х.

Вариант 2

А

1. Вычислите:

2. Найдите значение одночлена 5а2b3с при

3. Докажите, что число 19271634 - 7 является составным.

4. Выполните действия:

5. График функции у = ах2 проходит через точку А (-3; 5). Найдите коэффициент а.

6. Составьте таблицу значений функции у = (х - 1)2 в промежутке -1 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5 и постройте график функции.

7. Сравните числа 38 ∙ 107 и 9 ∙ 27 ∙ 157.

В

8. Определите последнюю цифру числа 523161 + 175234.

9. Сколько сомножителей (слагаемых) находится в правой части равенства:

10. График функции у = ах2 + b проходит через точки А (0; 2) и В (2; -4). Найдите величины а и b.

11. Постройте график функции

С

12. Докажите, что число 2 + 22 + 23 + ... + 2160 без остатка делится на 5.

13. Выполните действия:

14. Постройте график уравнения |у - х2| = -2х.

IV. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

А

1. Используя определение степени с натуральным показателем, получаем

2. Подставим данные значения величин в одночлен 7а3b2с и получим

(Ответ: )

3. Очевидно, что любое нечетное число в любой степени будет числом нечетным. Поэтому число 17232576 нечетное. Разность двух нечетных чисел будет числом четным. Следовательно, число 17232576 - 3 является четным и делится без остатка на 2. Так как данное число, кроме единицы и самого себя, имеет и другой делитель, то по определению оно является составным.

(Ответ: доказано.)

4. Используя свойства степеней, выполним действия:

5. Так как график функции у = ах2 проходит через точку А (3; 4), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции, т. е. 4 = а ∙ 32 или 4 = а ∙ 9, откуда а = 4/9.

(Ответ: а = 4/9.)

6. Составим таблицу значений функции у = (х + 1)2 в промежутке -3 ≤ х ≤ 1с шагом 0,5.

x

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

y

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

Отметим эти точки на координатной плоскости и построим график данной функции.

Легко догадаться, что этот график может быть получен из графика функции у = х2 его сдвигом на одну единицу влево.

7. Разложим данные числа на простые множители:

Так как 56 > 55, то и

(Ответ: )

В

8. Сначала определим последнюю цифру числа 327153. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 153 на 4. Он равен 1, т. е. 153 = 4 ∙ 38 + 1. Тогда 327153 = 3274 ∙ 38 + 1. Так как при возведении числа в степень его последняя цифра повторяется через каждые 4 степени, то последние цифры чисел 327153 и 3271 одинаковы и равны 7. Число, которое оканчивается цифрой 6, в любой степени также будет оканчиваться цифрой 6, т. е. 536164 оканчивается цифрой 6. Тогда последняя цифра числа 327153 + 536164 определяется суммой последних цифр этих чисел 7 + 6 = 13 и равна 3.

(Ответ: 3.)

9. а) Пусть в правой части равенства 2300 = 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 2 находится п одинаковых множителей 2. Тогда по определению степени с натуральным показателем имеем 2300 = 2n. Так как равны степени с одинаковым основанием 2, то равны и показатели степеней: 300 = n. Таким образом, в правой части находится 300 сомножителей.

б) Пусть в правой части равенства 2300 = 2 + 2 + ... + 2 находится п одинаковых слагаемых 2. Заменим сложение умножением и получим 2300 = 2n, откуда n = 2300 : 2 = 2299. Таким образом, в правой части находится 2299 слагаемых.

(Ответы: а) 300; б) 2299.)

10. Так как график функции у = ах2 + b проходит через точки А (0; 3) и В (2; -3), то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции. Сначала запишем условие прохождения графика через точку А: 3 = а ∙ 02 + b, откуда b = 3. Теперь функция имеет вид у = ах2 + 3. Запишем условие прохождения графика через точку В: -3 = а ∙ 22 + 3 или -6 = 4а, откуда а = -6 : 4 = -1,5.

(Ответ: а = -1,5, b = 3.)

11. При построении графика функции учтем, что х ≠ 0, и раскроем знак модуля. При х < 0 получаем |х| = -х, и функция имеет вид

В промежутке х < 0 построим график у = х2 - 1 (он получается смещением графика у = x2 на одну единицу вниз).

При х > 0 получаем |х| = х, и функция имеет вид В промежутке х > 0 построим график у = х2 + 1 (он получается смещением графика у = х2 на единицу вверх). Стрелками показано, что при х = 0 функция не определена (не имеет смысла).

C

12. Учтем, что при возведении любого числа в степень его последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 4. Поэтому в данной сумме последовательно сгруппируем слагаемые по четыре и получим

Разберемся со слагаемыми в первых скобках: число 3 оканчивается на 3, число 32 — на 9, число 33 — на 7, число 34 — на 1. Поэтому последняя цифра числа 3 + 32 + 33 + 34 определяется суммой последних цифр слагаемых: 3 + 9 + 7 + 1 = 20, т. е. последняя цифра этой суммы равна 0. Очевидно, что числа 35, 39, ..., 3118оканчиваются той же цифрой, что и число 3; числа 36, 310, ..., 3118 — той же цифрой, что и число 32, и т. д. Тогда очевидно, что суммы слагаемых, заключенных в скобки, оканчиваются одной и той же цифрой 0. Поэтому сумма всех слагаемых оканчивается цифрой 0. По признаку делимости такое число без остатка делится на 5.

(Ответ: доказано.)

13. Используя свойства степеней, выполним действия:

(Ответ: у.)

14. При построении графика зависимости |у - х2| = 2х учтем, что 2х ≥ 0, так как левая часть равенства при всех х и у неотрицательна. Тогда подмодульное выражение имеет вид у - х2 = 2х или у - х2 = -2х, т. е. у = х2 + 2х или у = х2 - 2х. Построим графики этих зависимостей (например, составив таблицы значений данных функций) в промежутке х ≥ 0.

Вариант 2

А

1. Используя определение степени с натуральным показателем, получаем

(Ответ: )

2. Подставим данные значения величин в одночлен 5а2b3с и получим

(Ответ: )

3. Очевидно, что любое нечетное число в любой степени будет числом нечетным. Поэтому число 19271634 нечетное. Разность двух нечетных чисел будет числом четным. Следовательно, число 19271634 - 7 является четным и делится без остатка на 2. Так как данное число, кроме единицы и самого себя, имеет и другой делитель, то по определению оно является составным.

(Ответ: доказано.)

4. Используя свойства степеней, выполним действия:

5. Так как график функции у = ах2 проходит через точку A (-3; 5), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции, т. е. 5 = а ∙ (-3)2 или 5 = а ∙ 9, откуда а = 5/9.

(Ответ: а = 5/9.)

6. Составим таблицу значений функции у = (x - 1)2 в промежутке -1 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5.

x

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

y

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

Отметим эти точки на координатной плоскости и построим график данной функции.

Легко догадаться, что этот график может быть получен из графика функции у = х2 его сдвигом на одну единицу вправо.

7. Разложим данные числа на простые множители: и Так как 38 < 39, то и 38 ∙ 107 < 9 ∙ 27 ∙ 157.

(Ответ: 38 ∙ 107 < 9 ∙ 27 ∙ 157.)

В

8. Сначала определим последнюю цифру числа 523161. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 161 на 4. Он равен 1, т. е. 161 = 4 ∙ 40 + 1. Тогда 523161 = 5234 ∙ 40 + 1. Так как при возведении числа в степень его последняя цифра повторяется через каждые 4 степени, то последние цифры чисел 523161 и 5231 одинаковы и равны 3. Число, которое оканчивается цифрой 5, в любой степени также будет оканчиваться цифрой 5, т. е. 175234 оканчивается цифрой 5. Тогда последняя цифра числа 523161 + 175234 определяется суммой последних цифр этих чисел 3 + 5 = 8 и равна 8.

(Ответ: 8.)

9. а) Пусть в правой части равенства 3200 = 3 ∙ 3 ∙ ... ∙ 3 находится п одинаковых множителей 3. Тогда по определению степени с натуральным показателем имеем 3200 = 3n. Так как равны степени с одинаковым основанием 3, то равны и показатели степеней: 200 = n. Таким образом, в правой части находится 200 сомножителей.

б) Пусть в правой части равенства 3200 = 3 + 3 + ... + 3 находится п одинаковых слагаемых 3. Заменим сложение умножением и получим 3200 = 3n, откуда n = 3200 : 3 = 3199. Таким образом, в правой части находится 3199 слагаемых.

(Ответы: а) 200; б) 3199.)

10. Так как график функции у = ах2 + b проходит через точки А (0; 2) и В (2; -4), то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции. Сначала запишем условие прохождения графика через точку А: 2 = а • О2 + Ь, откуда b = 2. Теперь функция имеет вид у = ах2 + 2. Запишем условие прохождения графика через точку В: -4 = а ∙ 22 + 2 или -6 = 4а, откуда а = -6 : 4 = -1,5.

(Ответ: а = -1,5, b = 2.)

11. При построении графика функции учтем, что х ≠ 0, и раскроем знак модуля. При х < 0 получаем |х| = -х, и функция имеет вид

В промежутке х < 0 построим график у = х2 + 1 (он получается смещением графика у = х2 на одну единицу вверх).

При х > 0 получаем |х| = х, и функция имеет вид В промежутке х > 0 построим график у = х2 – 1 (он получается смещением графика у = х2 на единицу вниз). Стрелками показано, что при х = 0 функция не определена (не имеет смысла).

C

12. Учтем, что при возведении любого числа в степень его последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 4. Поэтому в данной сумме последовательно сгруппируем слагаемые по четыре и получим Разберемся со слагаемыми в первых скобках: число 2 оканчивается на 2, число 22 - на 4, число 23 - на 8, число 24 - на 6. Поэтому последняя цифра числа 2 + 22 + 23 + 24 определяется суммой последних цифр слагаемых: 2 + 4 + 8 + 6 = 20, т. е. последняя цифра этой суммы равна 0. Очевидно, что числа 25, 29, ..., 2157 оканчиваются той же цифрой, что и число 2; числа 26, 210, ..., 2158 — той же цифрой, что и число 22, и т. д. Тогда очевидно, что суммы слагаемых, заключенных в скобки, оканчиваются одной и той же цифрой 0. Поэтому сумма всех слагаемых оканчивается цифрой 0. По признаку делимости такое число без остатка делится на 5.

(Ответ: доказано.)

13. Используя свойства степеней, выполним действия:

(Ответ: у.)

14. При построении графика зависимости |у - х2| = -2х учтем, что -2х ≥ 0 или х ≤ 0, так как левая часть равенства при всех x и у неотрицательна. Тогда подмодульное выражение имеет вид у - х2 = -2х или у - х2 = -(-2х), т. е. у = х2 - 2х или у = х2 + 2х. Построим графики этих зависимостей (например, составив таблицы значений данных функций) в промежутке x ≤ 0.

V. Подведение итогов уроков






Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Все материалы доступны по лицензии Creative Commons — «Attribution-NonCommercial»

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2019 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.