Умножение и деление степеней - СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Група в ViberГрупа в Facebook

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Умножение и деление степеней - СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цель: рассмотреть свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

Планируемые результаты: научиться умножать и делить степени с одинаковыми основаниями.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение степени с натуральным показателем.

2. Какое число получается при возведении положительного числа в степень?

3. Выполните возведение в степень:

4. Выполните действие:

а) (12 - 3)2;

б) 122 - 32.

5. Запишите в виде выражения куб суммы чисел а и b.

Вариант 2

1. Дайте определение степени с натуральным показателем.

2. Какое число получается при возведении отрицательного числа в степень?

3. Выполните возведение в степень:

4. Выполните действие:

а) (14 - 5)2;

б) 142 - 52.

5. Запишите в виде выражения сумму кубов чисел а и b.

III. Работа по теме уроков

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются, т. е.

Используя определение степени с натуральным показателем и свойства умножения, получаем

Доказанное свойство выполняется для любого числа множителей.

Пример 1

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются, т. е. . Очевидно, что а ≠ 0 (так как делить на нуль нельзя) и m > n (степень m - n должна также быть натуральным числом).

Очевидно, что равенство будет доказано, если будет доказано, что произведение аm-n и аn равно аm. Используя свойство умножения степеней, получаем Тогда пo определению частного имеем .

Пример 2

Свойство деления было доказано для случая m - n > 0. Будем считать, что такое же свойство справедливо и при m = n. Тогда получаем Очевидно, что при a ≠ 0 и любом натуральном m величина Поэтому разумно считать, что а0 = 1 при а ≠ 0. Итак, степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице, т. е. а0 = 1 при а ≠ 0. Заметим, что если основание равно нулю, то степень с нулевым показателем не определена (не имеет смысла), т. е. 00 не имеет смысла.

Пример 3

а) 2,70 = 1;

б)

в) 0° не имеет смысла;

г) (3х)0 = 1 при х ≠ 0;

Д) (x - у)0 = 1 при х ≠ у;

е) (2х + 3у)0 = 1 при 2х + 3у ≠ 0.

После введения нулевой степени формулу можно применять и в случае, когда m = 0 и n = 0, если а ≠ 0. Формулу можно применять, когда m и n не только натуральные числа, но и нули, если m ≥ n и а ≠ 0. В старших классах будет показано, что свойства умножения и деления степеней выполняются при любых показателях степеней. Очевидно, что свойства умножения и деления можно применять и совместно.

Пример 4

IV. Задания на уроках

№ 403, 405, 408 (в, д), 410 (а, д), 414, 417, 419 (а, в, д), 420 (б, г), 421 (а, б).

V. Контрольные вопросы

— Запишите свойства умножения и деления степеней.

— Сформулируйте словами свойства умножения и деления степеней.

— Чему равна степень с нулевым показателем? Для каких оснований степени?

VI. Творческие задания

1. Определите закономерности и найдите последнюю цифру числа аn для а = 1, 2, 3, ..., 10 и натурального n.

(Ответ: результаты приведены в таблице. Сверху указано основание а, слева — степень n = 1, 2, ..., 8. В последней строке указана повторяемость последней цифры. Видно, что при возведении а = 1, 5, 6, 10 в любую степень последняя цифра не меняется. При возведении а = 2, 3, 7, 8 последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 4. При возведении а = 4, 9 последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 2.)

a

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3


5

6

7

8

9

0

2

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

3

1

8

7

4

5

6

3

2

9

0

4

1

6

1

6

5

6

1

6

1

0

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

6

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

7

1

8

7

4

5

6

3

2

9

0

8

1

6

1

6

5

6

1

6

1

0



4

4

2



4

4

2


2. Используя результаты предыдущей задачи (см. таблицу), найдите последнюю цифру числа:

(Ответы:

а) 6 (последняя цифра основания 4, показатель степени 2004 кратен 4);

б) 6 (последняя цифра основания 6, число 6 в любой степени оканчивается на 6);

в) 7 (последняя цифра основания 7, показатель 1993 при делении на 4 дает остаток 1, т. е. 1993 = 4 ∙ 498 + 1);

г) 5 (последняя цифра основания 5, число 5 в любой степени оканчивается на 5);

д) 4 (последняя цифра основания 8, показатель степени 1734 при делении на 4 дает остаток 2, т. е. 1734 = 4 ∙ 433 + 2).)

3. Найдите последнюю цифру числа:

(Ответы:

а) 2 (1536937 оканчивается на 6, 355386 — на 5, 121536 — на 1, и полученное число оканчивается на 6 - 5 + 1 = 2);

б) 9 (310636 оканчивается на 0, 531196 — на 1, 3 ∙ 531196 — на 3, 786374 — на 6, и полученное число оканчивается на 0 + 3 + 6 = 9);

в) 7 (7341531 оканчивается на 4, 631324 — на 1, 2 ∙ 63 1324 — на 2, 389678 — на 1, и полученное число оканчивается на 4 + 2 + 1 = 7);

г) 8 (1743651 оканчивается на 7, 135163 — на 5, 3 ∙ 135163 — на 5, 647174 — на 9, 4 ∙ 647174 — на 6, и полученное число оканчивается на 7 - 5 + 6 = 8).)

4. Определите, является ли число простым или составным:

(Ответ: все числа составные.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 404, 406, 408 (г, е), 410 (б, е), 415, 418, 419 (б, г, е), 420 (а, в), 421 (в, г).






Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Все материалы доступны по лицензии Creative Commons — «Attribution-NonCommercial»

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2019 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.