Взаимное расположение графиков линейных функций - ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - ФУНКЦИИ

Група в ViberГрупа в Facebook

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Взаимное расположение графиков линейных функций - ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - ФУНКЦИИ

Цель: рассмотреть расположение графиков двух линейных функций.

Планируемые результаты: знать условия пересечения, параллельности, совпадения графиков линейных функций.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Из зависимости у = -3х + 4 выразите переменную х через у.

2. Постройте график функции у = -3х + 4 двумя способами (выбирая две произвольные точки и точки пересечения с осями координат).

3. График функции у = kх + b проходит через точки А (0; -4) и В (3; 5). Найдите величины k и b.

Вариант 2

1. Из зависимости у = -4х + 3 выразите переменную л: через у.

2. Постройте график функции у = -4х + 3 двумя способами (выбирая две произвольные точки и точки пересечения с осями координат).

3. График функции у = kх + b проходит через точки А (0; -2) и В (2; 6). Найдите величины k и b.

III. Работа по теме урока

Представим себе две прямые, построенные на координатной плоскости. Очевидно, возможны только три случая их взаимного расположения: или прямые пересекаются, или прямые параллельны, или прямые совпадают. Другой возможности представить себе нельзя. Рассмотрим эти три случая на примерах.

Пример 1

Построим графики линейных функций у = х - 3 и у = 2х - 4.

Видно, что построенные прямые пересекаются в точке А. Найдем координаты этой точки. Так как A — точка пересечения прямых, то ее координаты (х0; у0) удовлетворяют уравнению каждой прямой, т. е. выполняются (при подстановке в уравнения прямых) равенства у0 = x0 - 3 и у0 = 2 ∙ х0 - 4. Поскольку в этих равенствах левые части одинаковы, можно приравнять и правые: х0 - 3 = 2 ∙ х0 - 4. Из этого линейного уравнения находим абсциссу точки пересечения А - х0 = 1. Тогда из любого равенства можно найти и ординату точки пересечения, например: у0 = х0 - 3 = 1 - 3 = -2. Итак, координаты точки пересечения А (1; -2).

Таким образом, если угловые коэффициенты к прямых у = kх + b различны, то эти прямые пересекаются.

Пример 2

Построим графики линейных функций у = х – 3 и у = х + 1.

На рисунке видно, что прямые, заданные этими функциями, параллельны.

Таким образом, если угловые коэффициенты к прямых у = kх + b одинаковы, а значения Ь различны, то эти прямые параллельны.

Пример 3

Построим графики функции у = х - 3 и функции, заданной уравнением 2у + х = 2х + у - 3. Прежде всего из уравнения 2у + х = 2x + у - 3 найдем зависимость у(х). Для этого в левую часть равенства перенесем члены, зависящие от у, а в правую часть — все остальные члены уравнения. Получаем 2у - у = 2х - 3 - х или у = х - 3.

Теперь видно, что графики двух данных функций совпадают.

Таким образом, если угловые коэффициенты k и величины b прямых у = kх + b одинаковы, то эти прямые совпадают.

Обоснуем выводы, сделанные на основании рассмотренных примеров. Пусть даны две линейные функции у = k1 ∙ х + b1 и у = k2 ∙ х + b2. Предположим, что они пересекаются в точке С с координатами (х0; у0). Тогда эта точка лежит на каждой прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению каждой прямой. Поэтому при подстановке значений х0 и у0 в уравнения прямых выполняются равенства y0 = k1 ∙ х0 + b1 и у0 = k2 ∙ х0 + b2.

Так как в этих равенствах левые части одинаковы, то можно приравнять и правые: k1 ∙ х0 + b1 = k2 ∙ х0 + b2. Получили линейное уравнение для нахождения абсциссы х0 точки пересечения. Запишем его в следующем виде: k1 ∙ х0 - k2 ∙ x0 = b2 – b1 или (k1 - k2) ∙ x0 = b2 – b1. При решении этого уравнения возможны три случая:

1. Если k1 - k2 ≠ 0 (т. е. k1 ≠ k2), то уравнение имеет единственное решение. Это означает, что прямые пересекаются (разумеется, в одной точке).

2. Если k1 - k2 - 0 (т. е. k1 = k2) и b2 – b1 ≠ 0 (т. е. b1 ≠ b2), то уравнение решений не имеет. Это означает, что прямые не пересекаются, т. е. параллельны.

3. Если k1 - k2 = 0 (т. е. k1 = k2) и b2 – b1 = 0 (т. е. b1 = b2), то уравнение имеет бесконечно много решений. Это означает, что прямые имеют бесконечно много общих точек, т. е. совпадают.

IV. Задания на уроке

№ 327 (а, б), 328, 330, 331, 335.

V. Контрольные вопросы

— Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

— При каком условии графики двух линейных функций пересекаются?

— При каком условии графики линейных функций параллельны?

— При каком условии графики линейных функций совпадают?

VI. Творческие задания

1. При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

(Ответы: а) а ≠ 2,5; б) а ≠ -2; в) а ≠ 0; г) таких значений а нет.)

2. При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

(Ответы: а) а = 2; б) а = 2; в) а = 5/3; г) таких значений а нет.)

3. При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

(Ответы: а) а = 2; б) а = 1; в) таких значений а нет; г) таких значений а нет.)

4. На рисунке приведен график линейной функции. Какой из перечисленных функций он соответствует?

а) у = 2х + 2;

б) у = -2х + 1;

в) у = -2х + 2;

г) у = -2х + 4.

(Ответ: у = -2х + 2.)

5. На рисунках приведены графики некоторых линейных функций. Напишите формулы этих функций.

VII. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 327 (в, г), 329, 332, 333, 334.






Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Все материалы доступны по лицензии Creative Commons — «Attribution-NonCommercial»

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2019 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.