Задачи на вычисление вероятности события - Материалы для подготовки к самостоятельным работам

Пример 1. В игре “Морской бой” на поле 10x10 располагают 1 четырёхпалубный корабль (4 клетки), 2 трёхпалубных корабля (по 3 клетки), 3 двухпалубных корабля (по 2 клетки) и 4 однопалубных корабля (по 1 клетке). Один из способов размещения кораблей показан на рисунке 2. Какова вероятность того, что игрок, не видя размещения кораблей на игровом поле и сделав один выстрел (назвав координаты одной клетки), попадёт хотя бы в один корабль?

Решение. Всего на игровом поле 10 ∙ 10 = 100 клеток. Корабли занимают 4 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 1 = 20 клеток.

Следовательно, вероятность одним выстрелом попасть хотя бы в один корабль равна

Ответ.

Пример 2. В шкафу есть 4 вертикальных ряда по 5 ящиков в каждом. В один из ящиков в каждом ряду спрятали по одной монете. Какова вероятность того, что, выдвинув случайным образом по одному ящику в каждом ряду, можно найти монеты в двух первых рядах и не найти в остальных?

Решение. В каждом из четырёх рядов можно выдвинуть один ящик пятью способами, поэтому всего имеется 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625 способов выдвинуть по одному ящику в каждом из четырёх рядов. Из них имеется по одному способу найти монету в первом и во втором рядах и по четыре способа не найти монету в третьем и в четвёртом рядах. Всего 1 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16 способов. Следовательно, вероятность найти монеты в двух первых рядах и не найти в остальных равна

Ответ.

Пример 3. Учитель запланировал проверить две домашние работы из пяти на текущей неделе. Эти две работы он выбирает случайным образом и за невыполнение домашней работы ставит в журнал отметку “1”. Определите вероятность события:

а) А — “Аня получит “1”, если она не выполнит одну домашнюю работу из этих пяти;

б) В — “Боря получит ровно одну “1”, если он не выполнит две домашние работы из этих пяти;

в) С — “Вася получит хотя бы одну “1”, если он не выполнит две домашние работы из этих пяти.

Решение. Если пронумеровать домашние задания от 1 до 5, то все возможности выбора учителем двух домашних работ можно изобразить на схеме 1.

Схема 1

Учитель может выбрать две домашние работы десятью способами.

а) Если Аня не выполнит одну домашнюю работу из этих пяти, например первую (для других номеров работ решение аналогично), то имеется 4 случая из 10 (на схеме 2 эти случаи выделены жирным шрифтом), что её невыполненная работа попадёт на проверку к учителю. Следовательно, вероятность события А равна

Схема 2

б) Если Боря не выполнит две домашние работы из этих пяти, например первую и вторую (для других номеров работ решение аналогично), то имеется 6 случаев из 10 (на схеме 3 эти случаи выделены жирным шрифтом), что ровно одна его невыполненная работа попадёт на проверку к учителю. Следовательно, вероятность события В равна

Схема 3

в) Если Вася не выполнит две домашние работы из этих пяти, например первую и вторую, то имеется 7 случаев из 10 (к выделенным на схеме 3 случаям добавится случай 12), что одна или две его невыполненные работы попадут на проверку к учителю. Следовательно, вероятность события С равна

Ответ.