Теорема косинусов - СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

2. Сформулировать и доказать теорему синусов.

3. Проверить решение задачи № 1023.

II. Изучение нового материала.

1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), d = М1М2 = .

2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника.

3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора.

В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А получаем а2 = b2 + с2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов.

III. Решение задач.

1. Решить задачу 1.

Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, С = 60°.

Решение

АВ2 = ВС2 + АС2 – 2 ∙ ВС ∙ АС ∙ cos С = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60° = 9 + 25 – 15 = 19; АВ = см.

Ответ: см.

2. Решить задачу 2.

Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с = и В = 135°.

Решение

По теореме косинусов находим b:

b = =≈ 5,7.

Ответ: ≈ 5,7.

3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ = АС = 1 м, ВС = м.

Решение

Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а2 = b2 + с2 – 2bс ∙ cos А; cos А = ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = м. cos А = ; cos А = , тогда А = 120°.

Ответ: 120°.

4. Решить задачу № 1031.

Решение

а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = . Так как > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) а = 17; b = 8; с = 15.

cos А = = 0; сos А = 0, значит, А = 90°.

Ответ: прямоугольный.

в) а = 9; b = 5; с = 6.

cos А = .

Так как –1 < < 0, то А – тупой.

Ответ: тупоугольный треугольник.

IV. итоги урока.

Задание на дом: выучить материал пунктов 96–98; решить задачи №№ 1027, 1032.