загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССОВ

(уроки 55-68)

 

Урок 57. Повторение. Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью

 

Цели урока:

- повторение теоретического материала;

- обобщение навыка решения задач по данной теме;

- проверка уровня сформированных навыков при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания № 105, 108

 

II. Повторение теоретического материала

Вопросы:

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямых в пространстве.

4. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

6. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?

7. Сформулируйте прямую и обратную теоремы о трех перпендикулярах.

8. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

9. Что называется углом между прямой и плоскостью?

 

III. Решение задач

Задача № 158 (рис. 1).

Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости.

Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, BAD = 60°, ВМ = 12,5 см.

 

image379

 

Решение: MB (ABCD) MB АВ, MB BC MB = 12,5 см. BB1 AD, BB2 CD. По теореме о трех перпендикулярах МВ1 AD, MB2 DC. A = C, АВ = ВС, значит, ΔАВ1В = ΔСВ2В, ВВ1 = ВВ2 = 25 · sin60° = 12,53 (см).

Проекции ВВ1 и ВВ2 наклонных МВ1 и МВ2 равны, значит, равны и наклонные  (Ответ: 12,5 см, 12,5 см, 25 см.)

 

Задача № 165. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120° (рис. 2).

Найдите: ВС.

 

image378

 

Решение: ΔАМС = ΔАМВ (по катету и острому углу).  ΔВМС: по теореме косинусов  (Ответ: 3d.)

 

 

IV. Самостоятельная работа (см. приложение)

Решение самостоятельной работы:

Вариант 1

I уровень (рис. 3).

 

image377

 

Решение:

1) Точки А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью. О - центр окружности, S - точка на перпендикуляре. R = ОА = ОВ = ОС;

2) По теореме о трех перпендикулярах SA MN, ΔSOA - прямоугольный,  т. e. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

II уровень

Решение (рис. 4):

 

image380

 

1) Проведем AK BC, по теореме о трех перпендикулярах DK BC, D - искомое расстояние.

 (Ответ: 14 см.)

III уровень

Решение (рис. 5):

 

image381

 

Пусть α - плоскость данного угла BAD, MB = MD - b, МА = a, MC - перпендикуляр к плоскости угла. По теореме о трех перпендикулярах ВС АВ, DC AD, причем ВС = CD как проекции равных наклонных. Следовательно, ABCD - квадрат.  ΔDCM:   (Ответ: )

 

Вариант II

I уровень

Решение (рис. 6):

 

image382

 

1) SO= 1,1 м; SB, SC, SA - наклонные к сторонам треугольника. АО = ВО = СО - проекции.

2) По теореме о трех перпендикулярах AO MN, OB NK, ОС МК. Следовательно, О - центр вписанной окружности.  из ΔSOB.  (Ответ: 6 см.)

 

II уровень

Решение (рис. 7):

 

image383

 

1) Проведем DС плосксти ABC, CK AB (высота ΔАВС) DK - наклонная;

2) По теореме о трех перпендикулярах DK AB, следовательно, DK - искомое расстояние;

 (Ответ: )

III уровень

Решение (рис. 8):

 

image384

 

Пусть SK - искомое расстояние. К, М, N - точки касания сторон треугольника с окружностью SK = SM = SN. r = ОК, ОК ВС. По теореме о трех перпендикулярах SK BC. ΔSOK - прямоугольный.  где р - полупериметр.    (Ответ: 2,5 см.)

 

 

V. Подведение итогов

- Как найти угол между прямой и плоскостью?

Домашнее задание

П. 20 учебника, № 143; 149.





загрузка...
загрузка...