загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VII. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

 

§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса (уроки 39-46)

 

Урок 45. Решение задач на нахождение объема конуса

 

Цели урока:

- закрепить знания и умения по теме «Объем конуса»;

- совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

 

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания: у доски - № 708, дополнительная задача, вывод формулы Vk и Vус.к.; с места - № 701, 704.

2. Решение задач по готовым чертежам.

3. Решение задач у доски и в рабочих тетрадях.

 

III. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

 

IV. Подведение итогов

1. Записать домашнее задание.

П. 70, № 702, 705, 703.

Домашняя контрольная работа (см. приложение)

Дети получают ксерокопии домашних контрольных задач.

1. Проверка домашнего задания.

Задача № 701. Пусть h, r и V соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V = 48π см3; в) r, если h = m, V = p.

Решение:

a)   (Ответ: V = 2,25π см3.)

б) из формулы   (Ответ: h = 9 см.)

в) из формулы   (Ответ: )

 

Задача № 708. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем конуса.

Дано: усеченный конус, r = О1С = 3 м, ОВ = R = 6 м, СB = 5 м (рис. 1).

Найти: Vус.п.

 

image323

 

Решение:        Проведем СС1 АВ, O1С = OС1 = 3 м,     C1B = 6 - 3 = 3 (м). Из ΔСВС1 (C1 = 90°) по теореме Пифагора  отсюда

 

Задача № 704. Дано: конус, h = SO = AB = H (рис. 2).

Найти: V.

 

image324

 

Решение:   (Ответ: )

 

Дополнительная задача: Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.

Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС = а, АС - ось вращения (рис. 3).

Найти: объем тела вращения.

 

image325

 

Решение: Объем тела вращения равен сумме объемов двух равных конусов.    (из ΔAOB (O = 90°) по теореме Пифагора  (Ответ: )

Заслушать учащихся, выводивших формулы для Vк и Vус.к..

 

 

2. Решение задач по готовым чертежам.

№ 1. Установите соответствие фигур и формул для нахождения объема (рис. 4 а), б), в)).

 

 

 

№ 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис. 4).

 

image327

 

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то  (Ответ: V = 27000π см3.)

 

№ 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис. 5).

Найдите объем конуса.

 

image328

Решение:  Из ΔАSO (O = 90°):  (Ответ: V= 216π см3.)

 

№ 4. Радиус оснований усеченного конуса 6 см и 10 см. Образующая наклонена к плоскости большего основания под углом 60°.

Найдите: Vус.к..

Дано: α = 60°, R = 10 см, r = 6 см (рис. 6).

Найти: Vус.к..

 

image329

 

Решение:   (Ответ: )

 

№ 5. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса.

 

image330

 

Решение: (рис. 7):

 (Ответ: )

 

№ 6. Найдите объем усеченного конуса, если его осевое сечение трапеция с основаниями 8 см, 6 см и высотой 3 см (рис. 8).

 

image331

 

Решение:    (Ответ: V = 37π см3.)

 

3. Решение задач у доски и в рабочих тетрадях.

№ 1. Доказать, что если прямой круговой конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то площади сечения и основания будут относиться как квадраты их расстояний от вершины.

Дано: конус, S - площадь основания, S1 - площадь сечения (рис. 9).

Доказать:

 

image332

 

 

Решение: Сечением прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, является круг. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник.

 

image333

 

Из подобия ΔASB и ΔA1S1B1 (рис. 10) находим  следовательно,

Что и требовалось доказать.

(Ответ: задача доказана.)

 

№ 2. Разность между образующей конуса и его высотой равна d, а угол между ними равен α. Найдите объем конуса.

Дано: конус, SO - высота, SB - образующая. SB - SO = d, BSO = α (рис. 11).

Найти: V.

 

image334

 

Решение:  Из ΔSOB (O = 90°):  По условию SB - SO = d. Имеем        Итак,   

(Ответ: )

 

№ 3. Усеченный конус, у которого R1 = 22 см, R2 = 4 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания этого цилиндра?

Дано: цилиндр, усеченный конус, R1 = 22 см, R2 = 4 см, Vц. = Vк.

Найти: R (радиус цилиндра).

Решение: Н - общая высота тел, R - радиус цилиндра. Vц. = Vк.,  (Ответ: R = 14 см.)

 

Самостоятельная работа (см. приложение)

Ответы к задачам самостоятельной работы:

Вариант I. V = 24π см3.         V = 9π м3

Вариатн II.    

Решение самостоятельной работы

Вариант 1

 

№ 1.  Из ΔCBD (D = 90°);  Из ΔSCB:  Из ΔSOB (O = 90°):   (Ответ: V = 24π см3.)

 

№ 2. Дано: конус, ΔАРВ - осевое сечение, АР = РВ, P = 90°. SΔAPB = 9 м2 (рис. 14).

Найти: Vк.

 

image335

 

Решение:  Н = РО, R = АО,  l - образующая конуса, A + B = 90°, A = B = 45°. Из ΔАРО (O = 90°): APO = PAO = 45°, значит, AO = PO = R = H.  По теореме Пифагора    (Ответ: V = 9π м3.)

 

Вариант II

№ 1. Дано:  усеченный конус, ВВ1 = 6 см, BAB1 = 30°,  AB1B = 90° (рис. 15).

Найти: Vус.к..

 

 

Решение:  АВ = 12 см, R = ОВ  = 6 см, ABB1 = 60°. Проведем В1В2 АВ. Из ΔBB1B2 (B2 = 90°): B1 = 30°, значит, ВВ2 = 3 см, тогда,   (Ответ: )

 

Решение домашней работы

№ 702. Дано: конус, РО = 5 см, РО1 = 2 см, V1 = 24 см3 (рис. 16).

Найти: Vк..

 

image337

 

Решение: Н = РО - высота конуса, V1 – объем меньшего конуса, АО = R, A1O1 = R.       ΔРО1А1 ~ ΔРОA, тогда,  

  (Ответ: V = 375 см3.)

 

 

№ 705. Дано: конус, ΔASB - осевое сечение, SΔASB = 60 см2, SB = SA = 13 см (рис. 17).

Найти: Vк..

 

image338

 

Решение:  Из ΔSOB (O = 90°):   Из (1) и (2):

тогда  При R = 5, H = 12, тогда   (Ответ: 240π см3  или 100π см3.)

 

№ 703. Дано: конус, Sосн. = Q, Sбок. = Р (рис. 18).

Найти: Vк..

 

image339

 

Решение:  где R - радиус основания, H - высота.  l - образующая,

(Ответ: )

 

Решение домашней контрольной работы

№ 1. Дано: ΔАВС, АС = ВС = a, C = α. l || СВ, l - ось вращения (рис. 19).

Найти: объем полученного тела вращения.

 

image340

 

Решение: Проведем CL || l и ВK l, тогда Vтела = Vu V1 - V2,   где Vu – объем цилиндра, полученного вращением прямоугольника KBCL, V1 и V2 - объемы конусов, образующихся вращением ΔАКВ и ΔALC.  так как LC = КВ, a BC = AK + AL, то  ВС = а, Из ΔALC (L = 90°) : LC = asinα, поэтому   (Ответ: )

 

№ 2. Дано: конус, АР = 6 см, PAB = 45° (рис. 20).

Найти: V.

 

image341

 

Решение:  R = AO, H = РО. Из ΔAОР ((O = 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = R=H. По теореме Пифагора 2R2 = 6, R2 = 3, R = H = 3.   (Ответ: V = π3 см3.)

 

№ 3. Дано:  цилиндр, конус, ОВ = O1В1 = 2,5 м, SO1 = 4 м, ОО1 = 2,2 м, ρ = 0,03 г/см3 (рис. 21).

Найти: m.

 

image342

 

Решение:  где  

  (Ответ: 1,6 т - масса стога сена.)

 

№ 4. Дано: конус, R - радиус основания, усеченный конус, R - радиус основания (рис. 22).

Найти:

 

image343

 

 

Решение:  ΔSA1O1 ~ ΔSAO, значит,  отсюда

 (Ответ: )

 

№ 5. Дано: два конуса, O1 = О - центры оснований, ASO = A1S1O1 = α, ОА = R. Sбок.внут. < Sполн.внеш. в 2 раза (рис. 23).

Найти: Vвнутр.к.

 

image344

 

Решение: Из ΔS1OA1 (O = 90°):   Из ΔSOA (O = 90°):

(Ответ: )






загрузка...
загрузка...