загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VII. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

 

§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса (уроки 39-46)

 

Урок 42. Объем пирамиды

 

Цели урока:

- сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около основания окружности.

Ход урока

I. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (ученик у доски)

Ответ ученика:

Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).

 

image292

 

Поэтому,

Из равенства  Находим:  Подставляем это выражение для х в формулу (1),

 

II. Устная работа в форме теста, с проверкой у доски.

1. В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.

а) 10 см3, б) 42 см3, в) 60 см3, г) 30 см3.

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см, объем пирамиды 6 см3. Чему равна высота?

а) 3 см, б) 3 см, в) 1/3 см.

3. Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.

а) 50 см3, б) 48 см3, в) 16 см3.

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. найти сторону основания.

а) 12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.

а) 1 см, б) 15 см, в) 10 см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты.

Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

 

Таблица ответов.

Задача

1

2

3

4

5

6

7

8

Ответ

б

а

б

а

б

в

в

в

 

III. Решение задач

Рассмотрим базовые задачи (повторение).

Задача № 1.

Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания (рис. 2).

 

image293

 

Доказательство:

1) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО = ... (равны по катету и гипотенузе или по катету и острому углу).

2) Тогда ОА = ОВ = ОС = ..., т.е. точка О - центр окружности, описанной около основания.

 

Задача № 2.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 3).

 

image294

 

Доказательство:

1) ΔМКО = ΔМЕО = ΔMFO = ... (по катету и острому углу).

2) OK = OE = OF =..., т.е. точка О - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

 

Решаем задачи по готовым чертежам:

1. Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС - прямоугольный, С = 90°, АС = 6, ВС = 8. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45° (рис. 4).

Найти: Vпир. - ?

 

image295

 

Решение:

1) Так как α = 45°, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. ΔАВС - прямоугольный, значит, точка О - середина гипотенузы, АО = ОС = ОВ.

2) ΔАВС, С = 90°, тогда по теореме Пифагора:  АВ = 10, АО = 5.

3) ΔAOD: О = 90°, D = А = 45°, DO = OA = 5.

4)

5)  так как H = DO.

(Ответ: 40.)

 

2. Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС - равнобедренный. АВ = АС = 10, ВС = 12. AD = BD = CD = 15 (рис. 5).

Найти: V - ?

 

image296

 

Решение:

1) Так как AD = BD = CD = 15, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, значит, R = AO.

2)  тогда

(Ответ: 20119.)

 

Решение задач из учебника: № 695 (а, б).

Задача № 695 а). Дано: SABС - пирамида, CAB = 90°, ВС = С, ABC = φ, SCO = Q (рис. 6).

Найти: Vпир. - ?

 

image297

 

Решение:

Рассмотрим ΔABC:  Тогда

3) Так как точка О - центр окружности, описанной около основания, и ОВ = ОС = ОА, то SA = SB = SC.

4)  значит,

5)  

(Ответ: )

 

Задача 695 б). Дано: ABCD - пирамида. ΔABC - равнобедренный. AB = AC = 10; BC = 12. DMO = 45° (рис. 7).

 

Найти: Vпир. - ?

 

image298

 

Решение:

1)  где  точка О - центр вписанной в основание окружности.

2) = 48 (смотри предыдущую задачу, формула Герона). r = S/P; r = 48/16 = 3;

3) ΔDOM: OD = ОМ = 3, т. к. ODM = 45°.

4)

(Ответ: 48.)

 

IV. Подведение итогов

- Что необходимо знать, чтобы определить объем пирамиды?

Домашнее задание

П. 69, № 695 в), 697, 690.






загрузка...
загрузка...
загрузка...