загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VII. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

 

§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса (уроки 39-46)

 

Урок 41. Объем пирамиды

 

Цель урока:

- вывести формулу объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел.

Ход урока

I. Объяснение нового материала (п. 69.)

Докажем теорему:

Объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h (рис. 1). Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим сечение A1B1C1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S(x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х. Заметим, что ΔA1B1C1 ABC.

 

image286

 

В самом деле A1B1 || AB, тогда ΔOA1B1 ∞ ΔOAB, следовательно,

Прямоугольные треугольники ОА1М1 и ОАМ2 тоже подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому

Таким образом,

Аналогично доказывается

Итак, ΔA1B1C1 ABC, h = x/h, следовательно,

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а = 0, b = h, получаем

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S (рис. 2). Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 1/3h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh. Теорема доказана.

 

image287

 

II. Решение задач (по готовым чертежам)

Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = 3; AD = 23 (рис. 3).

Найти: a) Socн.; б) АО; в) DO; г) V.

 

image288

 

Решение:

а)  (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника).

б)  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника).

в)   (по теореме Пифагора).

г)

(Ответ: )

 

2. Дано: ABCDF - правильная пирамида. FCO = 45°; FO = 2 (рис. 4).

Найти: a) Socн.; б) V.

 

image289

 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC: O = 90°, C = 45°, значит, F = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = 2.

2) АС = 2OС = 4. d = AC = AD2 (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2). Тогда

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная).

4)

(Ответ: a) 8; 6) 5·1/3.)

 

 

3. Дано: ABCDEKF - правильная пирамида. FO (ABC), FM AK, FO = 4, FM = 5 (рис. 5).

Найти: a) Socн.; б) V.

 

image290

 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOM: O = 90° (так как FO (ABC), значит, FO OM) FO = 4, FM = 5.  (по теореме Пифагора),  OM = r (r - радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник).

(Ответ: а) 183, б) 243.)

 

4. Дано: A1A2A3A4 - ромб, SA1A2A3A4 - пирамида, A1A4 = a, SBO = β, ОВ A3A4, A2A1O = а (рис. 6).

Найти: V - ?

 

image291

 

Решение:

1) Рассмотрим

(Ответ: )

 

 

Домашнее задание

Вывести формулу для вычисления объема усеченной пирамиды.

П. 69, в 4,5 стр. 161. № 684 а), 686 а), 687.






загрузка...
загрузка...