загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VI. ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

 

§ 3. Сфера (11 ч) (уроки 22-32)

 

Урок 24. Касательная плоскость к сфере

 

Цели урока:

- рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере;

- научиться решать задачи по данной теме.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Актуализация знаний учащихся

1. Устный опрос учащихся.

а) Что называется сферой?  

Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром сферы, а данное расстояние - радиусом.

б) Что называют диаметром сферы?

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр.

в) Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости.

Пусть R - радиус, d - расстояние от центра сферы до плоскости. Возможны случаи:

1. d < R: сфера и плоскость пересекаются по окружности;

2. d = R: сфера и плоскость имеют одну общую точку;

3. d > R: сфера и плоскость не имеют общих точек.

 

2. Проверка домашнего задания:

Ученики работают у доски:

I ученик.

а) вывод уравнения сферы.

Пусть точка С(x0; у0; z0) центр данной сферы, а точка М(х; у; z) лежит на сфере (рис. 1).

 

image144

 

1. Найдем расстояние между этими точками:  но МС есть радиус сферы, значит, можно записать:  или  - уравнение сферы с центром в точке С (x0; у0; z0).

2. Если центр сферы совпадет с началом отсчета данной системы координат, то уравнение сферы будет иметь вид: R2 = х2 + у2 + z2, так как х0 = 0, у0 = 0, z0 = 0.

 

II ученик

б) проверка домашних задач № 581, № 586 (б), № 587 с записью на доске.

№ 581. Дано: ΔABC, вершины А, В, С лежат на сфере с центром в точке О. Радиус R = 13 см, АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см (рис. 2).

Найти: d - расстояние от центра сферы до плоскости ΔABC.

 

image145

 

Решение: Плоскость ΔАВС пересекает сферу по окружности, которая будет описанной около ΔАВС. Из точки О проведем ОК перпендикулярно плоскости ABC. OK = d будет искомым расстоянием, а точка К - центром описанной около ΔАВС окружности. Тогда отрезок АК - радиус описанной около ΔАВС окружности, а АО - радиус сферы.

Рассмотрим прямоугольный ΔОКА:  по теореме Пифагора.  - описанной окружности.  найдем площадь ΔАВС по формуле Герона.     (Ответ: 12 см.)

 

III ученик

№ 586 б) Дано: ОАВС - тетраэдр, ОН - высота, сфера с центром в точке О и радиусом R; R = 3 м, ОН = 95 см (рис. 3).

Найти: взаимное расположение сферы и плоскости ΔАВС.

 

image146

 

Решение: Пусть ОН = d— расстояние от центра сферы до плоскости ΔАВС. R > d, R2d > 0. х2 + у2 = R2 - d2 - уравнение окружности на плоскости ABC. Значит, сфера и плоскость основания тетраэдра пересекаются по окружности. (Ответ: сфера и плоскость пересекаются по окружности.)

 

 

 

IV ученик

№ 587. Дано: шар с центром в точке О, радиусом R, d — расстояние от центра О до секущей плоскости; а) R = 12 см, d= 8 см. б) Sсеч. = 12 см2, d= 2 см (рис. 4).

Найти: a) Sсеч.; б) R.

 

image147

 

Решение: а) Шар и плоскость пересекаются по окружности радиуса  В сечении получится круг площадью

 (Ответ: )

 

V ученик.

в) решение дополнительной задачи.

Диаметр шара 16 см. Через конец диаметра под углом 60° проведено сечение шара плоскостью. Найдите площадь сечения.

Дано: шар с центром в точке О, диаметр d = 16 см, угол между диаметром и сечением шара плоскостью 60° (рис. 5).

Найти. Sсеч.

 

image148

 

Решение: Пусть d = АВ · ОК - расстояние от О до плоскости. Рассмотрим ΔАОК:  (радиус сферы), АОК = 90° (ОК - расстояние от центра до     плоскости сечения). Sсеч. = πr2, где r – радиус сечения, r = АК = 1/2 · АО = 1/2 · 8 = 4 (см) как катет, лежащий против угла в 30°. Sсеч. = π · 42 = 16π (см2). (Ответ: 16π см2.)

 

3. Работа с чертежами.

Найдите площадь сечения плоскостью α шара с центром в точке О.

Сечение есть круг с центром в точке А и радиусом АВ. ОА α.

В ΔОАВ A = 90°, r = АВ = = 40 (см2) по теореме Пифагора

Sсеч. = πr2 = π · 402 = 1600π (см2)

 

 

III. Изучение нового материала (рис. 7)

 

image150

 

1. Повторение изученного в курсе планиметрии:

а) Что называется касательной к окружности? Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

б) Вспомним основные теоремы.

1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

2. Доказательство основных теорем о касательной плоскости.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка - точкой касания.

Теорема: (свойство касательной плоскости)

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Дано: сфера с центром в точке О и радиусом R, α - касательная плоскость, А - точка касания (рис. 8).

Доказать: R α.

 

image151

 

Доказательство: Предположим противное: пусть R = ОA α, следовательно ОА - наклонная к плоскости α, значит, расстояние от центра, сферы до плоскости α меньше R = OA: d < R, значит, сфера и плоскость а пересекают по окружности, что противоречит условию, что α - касательная плоскость, т.е. плоскость α и сфера имеют одну общую точку. Значит, R α.

Теорема: (признак касательной плоскости)

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Дано: сфера с центром в точке О и радиусом R, R α, ОА = R, А лежит на сфере.

Доказать: α - касательная плоскость.

Доказательство: Радиус перпендикулярен к данной плоскости R α, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, то есть данная плоскость является касательной.

 

IV. Закрепление изученного материала

Задача № 592. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом R, R = 112 см, α - касательная, А - точка касания, Р лежит на сфере, АР = 15 см. М - точка пересечения РО и сферы (рис. 9).

Найти: РМ.

 

image153

 

Решение: ΔОАР - прямоугольный, так как ОА = R, α - касательная плоскость. По теореме Пифагора найдем  PM = ODR = 113 – 112 = 1 (см). (Ответ: 1 см.)

 

V. Подведение итогов

1. Вспомним понятие касательной плоскости к сфере.

2. Свойство касательной плоскости.

3. Признак касательной плоскости.

Домашнее задание

Пп. 58-61, вопросы 7-9 к главе VI.

I уровень

Задача. Дан шар с центром в точке О, α - касательная плоскость, точка А - точка касания, точка В лежит на плоскости α, АВ = 21 см, ВО = 29 см (рис. 10).

Найдите радиус шара.

 

image152

 

Дано: шар с центром в точке О, α - касательная плоскость, А - точка касания, ОВ = 29, АВ = 21 см.

Найти: R шара.

Решение: R = OA, так как А - точка касания, рассмотрим прямоугольный ΔОАВ (α - касательная плоскость, А - точка касания, значит ОА α): по теореме Пифагора найдем   (Ответ: 20 см.)

II уровень

Задача № 591.

Решение см. урок № 25.






загрузка...
загрузка...
загрузка...