загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VI. ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

 

§ 3. Сфера (11 ч) (уроки 22-32)

 

Урок 22. Сфера. Уравнение сферы

 

Цели урока:

- ввести понятие сферы, шара и их элементов;

- вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат;

- формировать навык решения задач по данной теме.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Самостоятельная работа (см. приложение).

Самостоятельная работа записывается в домашних тетрадях.

Решение:

I уровень

Вариант I

Дано: усеченный конус, O1С = 3 см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. 1).

Найти: Sсеч., Sбок.

 

image127

 

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.   ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора  (Ответ: Sсеч. = 36 cм2, Sбок. = 45π см2.)

Вариант II

Дано: усеченный конус, OD = 7 см, CD = 5 см, ОО1 = 4 см (рис. 2).

Найти: Sсеч., Sбок.

 

image128

 

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.  ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора    (Ответ: Sсеч. = 44 cм2, Sбок. = 55π см2.)

 

II уровень

Вариант I

Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC CD, CD = 30 см (рис. 3).

Найти: Sсеч., Sr.

 

image129

 

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция   ΔADC - прямоугольный, по теореме Пифагора  Так как СН - высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD. ΔCHD - прямоугольный;

(Ответ: Sсеч. = 768 см2, Sr = 1634π см2.)

 

Вариант II

Дано: Усеченный конус, O1С = 1 дм, OD = 7 дм, BD AС (рис. 4).

Найти: Sсеч., Sr.

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.  ΔВМС - прямоугольный и равнобедренный:  ΔAMD — прямоугольный и равнобедренный:   ΔMO1C- прямоугольный:  ΔAОМ - прямоугольный:  ΔСHD - прямоугольный:  

(Ответ: Sсеч.= 64 дм2, Sr = 130π дм2.)

 

III уровень

Вариант I

Дано: усеченный конус O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. 5).

Найти: Sr.

 

image130

 

Решение:  Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см) (как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки).   ΔCHD - прямоугольный:    (Ответ: Sr = 2562π см2.)

 

 

Вариант II

Дано: усеченный конус, AF= 35 см, FC = 10 см, CD = 39 см (рис. 6).

Найти: Sr.

 

 

Решение: . ΔAOFΔAHC (по двум углам):   ΔАСН — прямоугольный: по теореме Пифагора  ΔCHD - прямоугольный:  

(Ответ: Sr = 1530π см2.)

 

 

III. Изучение нового материала

Вспомните определение окружности.

Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Дайте определение сферы.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

 

image132

 

Данная точка О называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы. Обозначается R. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Диаметр сферы равен 2R. Вспомните определение круга.

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Дайте определение шара:

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Существует и другое определение шара:

Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

 

 

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар - вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

Прежде чем вывести уравнение сферы познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F.

Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Выведите самостоятельно уравнение сферы радиуса R с центром С(х0, у0, z0), используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Найдите расстояние от произвольной точки М(х, у, z) до С(х0, у0, z0) (рис. 9).

 

image135

 

Если точка М лежит на сфере, то MC = R.

 так, как любая точка сферы, то уравнение сферы

Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС ≠ R, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению  Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х0, у0, z0) имеет вид

 

IV. Закрепление изученного материала

№ 573 а). Дано: А и В лежат на сфере, О АВ, АМ = МВ (рис. 10).

Доказать: ОМ AB.

 

image134

 

Доказательство: ΔAОВ - равнобедренный (АО = ОВ = R), АМ = MB (по условию), значит ОМ - медиана ΔАОВ. Так как медиана в равнобедренном треугольнике, опущенная к основанию, является высотой, то ОМ AB.

№ 574 а) (используется тот же чертеж) решить самостоятельно.

Дано: А и В лежат на сфере, R = 50 см, АВ = 40 см. АМ = MB.

Найти: ОМ.

Так как ОМ AB (смотрите предыдущую задачу), то ΔАМО - прямоугольный. По теореме Пифагора  

(Ответ: 1021 см.)

 

№ 576 а). Дано: R = 3; A(2; -4; 7).

Найти: уравнение сферы.

Решение:

№ 578 решить устно а) О(0; 0; 0), R = 7; б) А(3; -2; 0), R = 2.

№ 577 а). Дано: А(-2; 2; 0); N(5; 0; -1).

Найти: уравнение сферы с центром в А.

Решение:  Так как сфера проходит через точку N, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению сферы.

  

Дополнительная задача № 579 а) г)

 (Ответ: О(2; 0; 0), R = 2.)

(Ответ: О(0,5; -1,5; 1), R = 6.)

 

V. Подведение итогов

Повторить определение сферы, шара.

Вопросы:

- Как может быть получена сфера, шар?

- Какой вид имеет уравнение сферы?

Домашнее задание

П. 58, 59.1 уровень № 573 б), № 576 в); II уровень № 577 в)

Дополнительная задача.

Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у - 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m-2) принадлежат данной сфере.






загрузка...
загрузка...