загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс

Глава VМЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

§ 2. Скалярное произведение векторов (4 ч) (уроки 8-11)

 

Урок 9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

 

Цели урока:

- повторить с учащимися вопросы теории и рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

- сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Проверка домашнего задания

Заслушать ход решения задачи № 443 (в) и дополнительной задачи (III уровень) по заранее подготовленным на доске решениям.

Учащимся дается задание: внимательно выслушать решение задач и быть готовыми ответить на вопрос: «Верно ли решена задача? Какие замечания к решению у тебя есть?»

Задача № 443 б).

Решение:

(Ответ: -2а2.)

 

III. Математический диктант (см. приложение)

После написания диктанта проводится самопроверка и обсуждение задач, с которыми не справилось большинство учащихся.

 

IV. Изучение нового материала

1. Задание:

- Запишите формулу длины вектора в координатах;

- Выразите  из определения скалярного произведения.

- Пусть

Выразите  в координатах.

Имеем

2. Основные, свойства скалярного произведения. (По усмотрению учителя некоторые можно доказать.)

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Рассмотрим для примера свойство 3. Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим произвольные векторы  Воспользуемся формулой скалярного произведения в координатах и тем, что координаты вектора  равны суммам соответствующих координат векторов

3. Следует обратить внимание учащихся на то, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых, а скалярное произведение, в котором каждый из сомножителей является суммой векторов, можно вычислить по правилу умножения многочленов.

Рассмотрим, например, скалярное произведение  Положим  Тогда  Таким образом,  Свойства скалярного произведения используются в процессе решения задач.

 

 

V. Закрепление изученного материала

1. Решение задач по готовому чертежу (рис. 1).

Дано:

Найти:

 

image29

 

Решение:

  (Ответ: )

Задача № 444 б), д)

Решение:

Вопрос: Какими являются эти векторы?

 (Ответ: б) 0; д) 3.)

Задача № 445 д).

Дано:

Вычислить:

Решение:  (Ответ: 28.)

Вопрос: Какие свойства скалярного произведения использовали при решении этой задачи?

Задача № 446 а).

Дано:

Найти: вид

Решение:   если 90° < а < 180°. Значит,  тупой. (Ответ: тупой.)

 

2. Самостоятельное решение задач с последующей проверкой.

 

I уровень

Задача № 449.

Дано:

Найти: значение m, при котором векторы  перпендикулярны.

Решение:  если  (Ответ: 4.)

II уровень

Дано:

Найти:

Решение:

III уровень

Даны три силы  приложенные к одной точке. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка их приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(5; 3; -7) в В(4; 1;-4).

Решение:

1. Найдем равнодействующую

2. Найдем вектор перемещения   (Ответ: А = 7.)

Все задачи проверяются по готовым решениям.

 

VI. Подведение итогов

- Итак, в ходе сегодняшнего урока мы рассмотрели основные свойства скалярного произведения векторов, научились применять их для вычисления скалярного произведения и нахождения углов между векторами.

Домашнее задание

I уровень: № 445 (г); 446 (в); 451 (д).

II уровень: № 453; 459 (а); 454.

III уровень: № 459 б).

 

Дополнительные задачи

Задача № 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1.

Найдите угол между векторами  где точка М - середина ребра СС1.

Решение:

1 способ

Введем систему координат (рис. 2).

 

 

 

2 способ

  (Ответ: )

Задача № 2

Дано:

Найти:





загрузка...
загрузка...