загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

(уроки 60-62)

 

Урок 62. Зачет по теме «Векторы в пространстве»

 

Цель урока:

- выявить уровень знаний учащихся по теме «Векторы в пространстве». Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Проведение зачета

Карточки с заданиями

I уровень

Вариант I

№ 1. Вопрос. Сформулируйте определения вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства векторов. Проиллюстрируйте их, используя изображения параллелепипеда.

№ 2. Задача. На рисунке изображен тетраэдр ABC, ребра которого равны. Точки М, N, P и Q- середины сторон АВ, AD, DC, ВС; а) выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке; б) определите вид четырехугольника MNPQ.

 

image611

 

Решение:

а)

б) Так как NP и MQ - средние линии в ΔADC и ΔАВС, то NP = MQ, следовательно, MN - средняя линия ΔADB; a PQ - средняя линия ΔCBD; MN = PQ = 1/2BD. Так как все ребра тетраэдра равны, то тетраэдр - правильный, а в правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. Тогда, BD AC;  четырехугольник MNPQ - квадрат.

(Ответ: a)  б) квадрат.)

 

 

№ 3. Задача. Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что

Дано: MNPQM1N1P1Q1 - параллелепипед.

Доказать:

 

image613

 

Решение:  так как MNPQM1N1P1Q1 - параллелепипед, а ребра MQ и M1N1 параллельны и равны. Аналогично доказывается  и  так как противоположные стороны параллелограммов MNPQ и M1N1P1Q1 соответственно. Складывая левые и правые части равенств, получим  что и требовалось доказать.

 

Вариант II

№ 1. Вопрос. Расскажите о правиле треугольника сложения двух векторов. Проиллюстрируйте эти правила на рисунке.

 

image614

 

№ 2. Задача. Упростите выражение:

Решение:

№ 3. Задача. Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что

Дано: MNPQM1N1P1Q1 - параллелепипед.

Доказать:

Решение:  Таким образом,

 

II уровень

Вариант I

№ 1. Вопрос. Расскажите о правиле параллелограмма сложения двух векторов. Проиллюстрируйте это правило на рисунке.

№ 2. Задача. Дана треугольная призма ABCA1B1С1. Укажите вектор  начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что

Дано: ABCA1B1С1 - треугольная призма.

Найти:

 

image612

 

Решение:  поэтому

№ 3. Задача. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы  по векторам

Решение:   тогда  Значит,

 (Ответ: )

 

 

Вариант II

№ 1. Вопрос. Расскажите о правиле многоугольника сложения нескольких векторов. Проиллюстрируйте его на рисунке.

№ 2. Задача. Дана треугольная призма ABCA1B1С1. Укажите вектор  начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что

 

image615

 

Решение:   а так как   (Ответ: )

 

image617

 

№ 3. Задача. Точка К - середина ребра В1С1 куба ABCDA1B1C1D. Разложите вектор  по векторам  и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.

 

image618

 

Решение:  Имеем:   то есть  так как  Построим отрезок А1К. Для ΔАА1К по теореме Пифагора:

 (Ответ:    )

 

image616

 

 

 

III уровень

Вариант I

№ 1. Вопрос. Сформулируйте определение произведения вектора  на число к, сочетательный, первый и второй распределительные законы умножения вектора на число. Проиллюстрируйте их на примерах.

№ 2. Задача. На рисунке изображен правильный октаэдр. Докажите, что

 

image619

 

Решение:  так как векторы  принадлежат одной плоскости, их длины равны, a ABFD - параллелограмм  или

№ 3. Задача. Точки А1, В1, С1 - середины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC, точка О - произвольная точка пространства. Докажите, что

 

image620

 

Решение:   значит,  Запишем аналогичные равенства для других граней.  и  Складывая эти три равенства, получим:   что и требовалось доказать.

 

Вариант II

№ 1. Вопрос. Сформулируйте определение компланарных векторов. Приведите примеры компланарных и некомпланарных векторов, используя изображение параллелепипеда.

 

image621

 

№ 2. Задача. Дан параллелепипед AABCDA1B1C1D1. Найдите сумму векторов

Решение:

 (Ответ: )

№ 3. Задача. В тетраэдре ABCD точка К - середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор  по векторам

 

image622

 

Решение. Проведем  следовательно, имеем равенство:  Достроим ΔACD до параллелограмма; сложив  и  по правилу параллелограмма, получим, что их сумма  равна диагонали параллелограмма, выходящей из вершины А. Но эта диагональ равна  Значит,  Таким образом,  (Ответ: )

Дополнительные вопросы:

1. Сформулируйте и докажите утверждение, выражающее признак компланарности трех векторов.

2. Расскажите о правиле параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов. Проиллюстрируйте его на рисунке.

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

 

 

III. Подведение итогов





загрузка...
загрузка...