загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

(уроки 60-62)

 

Урок 61. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

 

Цель урока:

- рассмотреть теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Коллективная проверка домашнего задания.

 

III. Опрос

У доски - 2 ученика (1-й отвечает сразу, 2-й готовится)

1. ученик - компланарные векторы и правило параллелепипеда.

2. ученик - доказать признак компланарности 3-х векторов.

3. ученик - задача № 362.

Дано: ABCD - тетраэдр; ВК = КС. DK разложить по   (рис. 1).

 

image607

 

Решение: К - середина;

 

IV. Объяснение нового материала

Если вектор  представлен в виде (1)  где х, у, z - некоторые числа, то говорят что вектор  разложен по векторам  Числа х, у, z называются коэффициент разложения. Теорема: Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициент разложения определяется единственным образом.

Доказательство: Пусть  - данные некомпланарные вектора  Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы (2);  Через т. Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 = с АОВ (если Р ОС, то в качестве Р1 возможен т. О). Через Р1 проведем Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 = с ОА (если Р1 ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О);  (3). Векторы  коллинеарные, поэтому существуют числа х, у, z такие, что  подставляя в (3) получим:  учитывая (2) получаем

Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора  Вычитая это равенство из (1), получим   Это равенство выполняется только тогда, когда х – х1 = 0, у – у1 = 0, zz1 = 0. Если предположить, например, что z z1 ≠ 0, то из этого равенства получим  следовательно, векторы  - компланарны (это противоречит условию теоремы).

Значит, наше предположение неверно, х = х1, у = у1, z = z1. Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.

 

 

 

 

V. Формирование знаний и умений

У доски: № 361. Дано: ABCDA1B1C1D1 параллелепипед; О - точка пересечения диагоналей. Разложить  по векторам;   (рис. 2).

 

image608

 

Решение:

№ 363. Дано: ABCD - параллелограмм, M   (рис. 3)

Разложить

 

image609

 

Решение:

№ 366. М - точка пересечения медиан, О произвольная точка пространства (рис. 4).

Доказать:

 

image610

 

Решение: Пусть  

 

 

VI. Подведение итогов

 

Домашнее задание

П. 41 № 362, 364, дополнительно № 365, 362. Решение в учебнике (1 способ).

№ 364

№ 365





загрузка...
загрузка...