загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

(уроки 60-62)

 

Урок 60. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

 

Цели урока:

1) ввести определение компланарных векторов;

2) рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Постановка целей и мотивация урока

 

III. Объяснение нового материала

Определение

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых два коллинеарные, также компланарны (объясните почему).

Пример: рис. 1.

 

image603

 

На рис. 1 изображен параллелепипед.

Векторы  - компланарны, так как, если отложить от точки О вектор, равный  то получится вектор  а векторы  лежат в плоскости ОСЕ.  - некомпланарны, так как вектор  не лежит в плоскости ОАВ. Признак компланарности 3-х векторов: если вектор  можно разложить по векторам  то есть представить в виде:  (х, у - некоторые числа), то векторы  - компланарны.

 

image604

 

Доказательство: Пусть  не коллинеарные (рис. 2) (если коллинеарные - компланарность очевидна). Отложим отточки О векторы:  и  лежат в плоскости ОАВ. В плоскости ОАВ лежат и векторы  и  лежит в той же плоскости.  Что и требовалось доказать. Обратное утверждение: если векторы  компланарны, а векторы  некомпланарны, то вектор  можно разложить по векторам  то есть  причем коэффициенты х и у определяются единственным образом.

Доказательство: (самостоятельно) на основании теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1)  - компланарны (по условию).

Если их отложить от точки А, то они будут лежать в одной плоскости.

2) Построим параллелограмм ABCD:

3)  коллинеарные  аналогично

4)  что и требовалось доказать (единственность коэффициентов х, у доказать самостоятельно дома).

 

 

 

Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов).

Дано:  (рис. 3).

 

image605

 

 

IV. Формирование знаний и умений

Устно - № 355 а) да; б) нет; в) да; г) нет.

У доски - № 356.

Дано:  (рис. 4).

 

image606

 

1) Доказательство:

2)  - компланарны - ?

согласно признаку компланарности, векторы  компланарны.

Решение упражнений № 359 a)

 

V. Подведение итогов

(по вопросам 13, 14, 15, стр. 92)

 

Домашнее задание

№ 358, 359 (б); доп. 368, (а, б)

Ответ к д/з № 358

№ 359 б)

№ 368 а)  б)





загрузка...
загрузка...