загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

(уроки 58-59)

 

Урок 59. Умножение вектора на число

 

Цели урока:

1) рассмотреть правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач;

2) повторить и систематизировать знания по теме «Векторы»;

3) совершенствовать навыки выполнения действий над векторами.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Контроль домашнего задания

На доске приготовить заранее чертежи к задачам № 327, 330 и вызвать двоих учеников для записи решений этих задач по уровням.

Кроме того, вызвать 1 ученика для записи и объяснения решения задачи № 335 и задачи № 340, если ребята справились с творческим заданием.

№ 327 (рис. 1)

 

image593

 

№ 330 (рис. 2)

 

image595

 

Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы  соответственно через  Изобразите на рисунке векторы:

Решение:

335

№ 340. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор , начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что  (рис. 3).

 

image596

 

Решение:  Поэтому нужно найти вектор  такой, что  Из этого равенства находим:  или

В это время обсудить конспекты (выполненные дома) и повторить в вопросно-ответной форме материал предыдущего урока: правила сложения и вычитания векторов, свойства сложения, правило многоугольника для суммы нескольких векторов.

 

 

 

III. Актуализация опорных знаний (задания для самостоятельного выполнения с последующей проверкой)

№ 1. Найти:

(Ответы: .)

№ 2. Начертите неколлинеарные векторы  Постройте векторы:

 

IV. Изучение нового материала

Сформулировать правило умножения вектора на число:  если  то  при  при k < 0. Если

Подробно рассмотреть на примерах свойства умножения вектора на число и попросить ребят изобразить схему в тетрадях.

Умножение вектора на число

 

Сочетательный закон

image598

 

Первый распределительный закон

image599

Второй распределительный закон

image600

 

Обратить внимание учащихся на то, что так же, как и в планиметрии, можно доказать следующее утверждение: если векторы  коллинеарные и  то существует число k, такое, что  (рекомендовать повторить доказательство учащимся, проявляющим интерес к геометрии)

 

 

 

V. Закрепление изученного материала

1) Решение задач из учебника

Задача № 345

Точки Е и F - середины сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О - произвольная точка пространства. Выразите вектор  через вектор  (рис. 4).

 

image597

 

Решение:  Так как EF - средняя линия треугольника ABC, то EF || АС и EF = 1/2AС. Поэтому

Задача № 347

а) Упростите выражение

Решение:

Задача № 348

Дан параллелепипед ABCDA1В1C1D1. (рис. 5).

Докажите, что

 

image601

 

Решение: Из рисунка видно, что

Практическая работа (выполняется на листочках и сдается на проверку)

1) Отметьте на прямой а три точки А, В и М так, что:

2) Точка О - произвольная точка пространства. Для каждого случая из а-г 1) выразите вектор  через векторы

3) Точки А, В и М лежат на одной прямой, причем  Найдите а, если для данных точек и произвольной точки О выполняется равенство:

Постройте точки, удовлетворяющие каждому из этих равенств.

 

VI. Подведение итогов (блиц-опрос по вопросам):

- Что называется произведением ненулевого вектора на число?

- Что называется произведением нулевого вектора на число?

- Свойства умножения вектора на число.

- Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарные; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарные; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если

 

Домашнее задание

I уровень - № 349, 351; II уровень - № 352, 353; творческое задание - № 385.

Решение домашних задач

351

 

 

Векторы  а также  коллинеарные. Докажите, что коллинеарные векторы:

Доказательство:

1 способ

 - коллинеарные,  - коллинеарные.

а) Прямые, на которых лежат  либо параллельны, либо совпадают. Прямые, на которых расположены  либо параллельны, либо совпадают. Две прямые, параллельные третьей, параллельны ( значит, ). Таким образом,  расположены либо на нескольких прямых, либо на одной, то есть коллинеарные;

б)  - коллинеарные,  коллинеарен  значит,  коллинеарен и  и  По условию,  коллинеарные, значит,  и  тоже коллинеарные;

в) Так как  коллинеарные, то  коллинеарные. По условию  коллинеарные, тогда  и  коллинеарные;

г)  коллинеарные, поэтому  коллинеарен  По условию  коллинеарные, значит,  и  коллинеарные.

2 способ

а)  Отсюда

б)  коллинеарные;

в)  коллинеарные;

г)  коллинеарные.

№ 352

Векторы  коллинеарные.

Докажите, что векторы  коллинеарные.

Доказательство: Примем  По условию,   то есть  где  Равенство  доказывает, что  коллинеарные.

№ 353

Векторы  коллинеарные.

Докажите, что векторы  коллинеарные.

Доказательство:  По условию,  то есть   где  Равенство  показывает коллинеарность

 

 

 

 

Творческое задание

№ 385

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О - произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство  (рис. 6).

 

image602

 

Доказательство:

1 способ.

Для произвольного ΔPQR  Запишем равенство для каждой грани пирамиды OABCD:  Сложив их, получим:  или

Для ΔOKL имеем  для ΔOMN имеем  Итак,  поэтому





загрузка...
загрузка...