загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

(уроки 37-44)

 

Урок 44. Зачет № 2

 

Цели урока:

1) способствовать усвоению учащимися перпендикулярности прямых и плоскостей;

2) теоремы о трех перпендикулярах в ходе решения задач;

3) развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Работа по карточкам

Карточка 1

1. Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

2. Решите задачу № 143 или № 213.

Карточка 2

1. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Решите задачу № 131 или № 216.

Карточка 3

1. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

2. Решите задачу № 150 или № 212.

Карточка 4

1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью. Расскажите о свойстве угла между прямой и плоскостью.

2. Решите задачу № 157 или № 206.

Карточка 5

1. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Решите задачу № 171 или № 202.

Карточка 6

1. Докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2. Решите задачу № 195 или № 197.

 

Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе, просмотреть ранее решенные задачи.

Решение задач к зачету М 2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Карточка № 1

Задача № 143

Дано: ΔАВС - правильный; АВ = 6 см; М (ABC); АМ = ВМ = СМ = 4 см (рис. 1).

Найти: расстояние от М до (ABC).

 

image436

 

Решение:

1. Проведем МО (ABC).

2. ΔАОМ = ΔВОМ = ΔСОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету) АО = ВО = СО, то есть О - центр описанной около ΔАВС окружности.

3.

4. МО - расстояние от М до (ABC) и ΔМОС прямоугольный.  (Ответ: 2 см.)

Задача № 213

Дано: ΔАВС и DBC - прямоугольные; D проектируется в центр ΔАВС (рис. 2).

Вычислить угол между плоскостями ΔABC и ΔDBC.

 

image438

 

Решение: Пусть точка D1 проекция точки D на плоскость ABC. Тогда точка D1 является точкой пересечения медиан ΔАВС (центр ΔABC). АН - медиана, H - середина ВС, тогда  откуда  Причем АН ВС и DH ВС (по теореме о 3-х перпендикулярах), значит, AHD - это угол между плоскостями треугольников. DH = АН (так как ΔАВС = ΔDBC), значит,  Итак,   (Ответ: )

 

Карточка № 2

2. Задача № 131

Дано: ABCD - тетраэдр, М - середина ВС, АВ = AC; DB = DC (рис. 3).

Доказать: ВС (ADM).

 

image439

 

Доказательство:

1. Так как АВ = АС, то ΔАВС равнобедренный. AM его медиана, следовательно, AM его высота, то есть АМ ВС.

2. ΔBDC - равнобедренный, DM - медиана, а следовательно, высота. Таким образом, ВС DM.

3. Получим ВС AM, ВС DM ВС (ADM). Что требовалось доказать.

Задача № 216

Дано: двугранный угол; m – ребро двугранного угла;  (рис. 4).

Найти: CD.

 

image440

 

Решение:

1. Проведем BD1 || АС так чтобы ABD1C был квадратом, то есть BD1 = а. Тогда D1BD = 120°.

2. По условию BD m, AC m и AC || BD1, значит, BD1 m, по теореме о трех перпендикулярах CD1 DD1 и CD1D = 90°. ΔCD1D - прямоугольный.

3. ΔD1BD: в нем D1B = BD = a; D1BD = 120°. По теореме косинусов

4.  (Ответ: 2a.)

 

 

Карточка № 3

Задача № 150

Дано: ABCD прямоугольник; АК (ABC); KD = 6 см, KB = 7 см, КС = 9 см (рис. 5).

Найти: Р (К; (ABC)); Р (АК; CD).

 

image441

 

Решение:

1.

2. АВ - проекция; КВ - наклонная КВ СВ.

3. ΔКВС: в нем КВ = 7 см; КС = 9 см; B = 90°. По теореме Пифагора

4. ΔAKD:  

5.   (Ответ: AD = 42 см.)

Задача № 212

Дано: ΔАВС и ΔABD; точка С проекция точки D на (ABC); ((ABQ, (ABD)) = α, SΔABC = S (рис. 6).

Доказать:

 

image442

 

Доказательство: Проведем в ΔАВС высоту СН, тогда СН - проекция DH на плоскость (ABC) и по теореме о 3-х перпендикулярах DH АВ, и значит, DH высота ΔABD, DHC = α, но ΔDCH -  прямоугольный, поэтому   Отсюда  что требовалось доказать.

 

Карточка № 4

Задача № 157

Дано: ABCD - ромб, AC BD = О, OK (ABC), AC BD (рис. 7).

Доказать: КМ = KN = КР = KL, то есть О - центр вписанной в ромб окружности.

 

image443

 

Доказательство:

1. OK (ABC); KN АВ; KN - наклонная. ON проекция ON AB.

2. Аналогично доказывается, что ОМ ВС; ОР AD; OL DC.

3. ОМ = ON = OP = OL (как проекции равных наклонных).

4. К - равноудалена от всех сторон ABCD, следовательно, проектируется в центр О вписанной в него окружности.

5. ОК = 4,5 дм; АС = 6 дм; BD = 8 дм. Найти КМ. Так как AC BD = О середина АС и BD, то ВО = 4 дм; ОС = 3 дм. Тогда из ΔОВС:

(Ответ: 5,1 дм.)

Задача № 206

Дано: ΔABC; A меньший; AM (ABC); ВС = 8 см; АВ = 17 см; АС = 15 см (рис. 8).

Найти: Р (М; ВС) = МН.

 

image444

 

Решение: Так как против меньшего угла лежит меньшая сторона, то ВС = 8 см. Проведем высоту АН в ΔАВС. Тогда по теореме о 3-х перпендикулярах МН ВС (так как АН ВС), а следовательно, Р (М; ВС) = МН.

Пусть АВ = 17 см; АС = 15 см, ВН = х; СН = 8 - х по теореме Пифагора  откуда  Таким образом ВН = 8 см, это значит, ВН = ВС и АС ВС, то есть АН = АС; АС = 15 см; АМ = 20 см. Так как ΔMAC прямоугольный, то  (Ответ: МН = 25 см.)

 

Карточка № 5

Задача № 171

Дано:  (рис. 9).

Найти: (α; (ABC)).

 

image445

 

Решение:

1. Проведем СО α, тогда CBO = 30°. Пусть в ΔСОВ СО = а, тогда СВ = 2а.

2. Проведем CD АВ, тогда АВ DO и по теореме, обратной теореме о 3-х перпендикулярах, CDO искомый.

3. Из ΔCDB известно, что CBD = 45°,

4. Из ΔCDO:  (Ответ: (α; (ABC)) = 45°.)

 

Задача № 202

Дано: ΔАВС, C = 90°; CD - медиана; МА = MB = MC = 10 см. CD = 5 см (Рис. 10).

Найти: Р (М; (ABC))

 

image446

 

Решение:

1. Так как точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, то она проектируется в центр описанной около ΔАВС окружности, то есть в середину гипотенузы точка D.

2. MD AD; CD - проекция наклонной СМ, значит, MD CD и ΔCDM имеет D = 90°.

3. СМ = 10 см; CD = 5 см, по теореме Пифагора  (Ответ: 53 см.)

 

Карточка № 6

Задача № 195

Дано: ABCDA1B1C1D1 прямоугольный параллелепипед,  (рис. 11).

Найти: АВ; AD; АА1.

 

image447

 

Решение:

1. BD1 = АС1 = 12 см.

2. АВ (ADD1), значит, AD1 проекция BD1 на плоскость (AA1D1), значит, AD1B = 30°.

3. Из ΔABD1 BD = 12 см; A = 90°; AD1B = 30°, значит,

4. ΔD1DB прямоугольный; D = 90°; BD1D = 45°, отсюда D1BD = 45° и

5. Из ΔDAB:  (Ответ: AB = AD = 6 cm; AA1 = 62 cm.)

 

Задача № 197

Дано: ABCD - прямоугольник, BM (ABC) (рис. 12).

Доказать: CD (МВС).

 

image448

 

Доказательство: Так как MB (ABC), то BМ CD, и так как ABCD прямоугольник, то CD ВС.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости CD (МВС), что требовалось доказать.






загрузка...
загрузка...
загрузка...