загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

(уроки 37-44)

 

Урок 39. Прямоугольный параллелепипед

 

Цели урока:

1) ввести понятия прямоугольного параллелепипеда;

2) рассмотреть свойства его граней, двугранных углов, диагоналей.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

 

II. Проверка домашнего задания

Двое учеников у доски записывают решение домашнего задания:

№ 173 и № 174.

№ 173. Дано: ABCD - тетраэдр; CD (ABC); АВ = ВС = АС = 6; BD = 37 (рис. 1).

Найти: двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

 

 

Решение:

1) Так как DC (ABC), то DCA ABC пo признаку перпендикулярности двух плоскостей, двугранный угол DAСВ - прямой.

2) Проведем СК АВ, тогда АВ DK (по теореме о трех перпендикулярах), значит, DKC - линейный угол двугранного угла при АВ. Из ΔАСК: СК = АС · sin 60°,  Из BDK: ВК = 1/2, АВ = 3 (СК - высота равнобедренного треугольника). По теореме Пифагора

 Из прямоугольного ΔDCK по теореме Пифагора  DC находится из прямоугольного ΔDCB - по теореме Пифагора

3) Так как ВС DC и АС DC, то угол ACB линейный угол двугранного угла BDCA. Так как ΔABC - равносторонний ACB = 60°, то двугранный угол равен 60°. (Ответ: 60°, 45°, 90°.)

№ 174. Дано: ABCD - тетраэдр; АС = СВ = 5; DB = 55 ; DAB = DAC = ACB = 90° (рис. 2).

Найти: двухранные углы тетраэдра ABCD.

 

 

Решение: DA АВ, DA АС DA AВС, значит, АС - проекция DC на плоскость ABC, ABC = 90°, ВС АС, значит, ВС DC по теореме о трех перпендикулярах, ACD - линейный угол двугранного угла ABCD. Из ΔACD:  Из ΔDCA:  (Ответ: 60°.)

Двое учеников решают по карточкам: Дано: ABCD - тетраэдр; DC = 8 см, СВ = 6 см; AD ABC; DCB = 90°, DBA = 45° (рис. 3).

Найти: AD.

 

 

Решение: ΔDCB:  ΔDAB - прямоугольный; A = 90°, так как DBA = 45° ΔDAB - прямоугольный равнобедренный. AD = АВ = х, по теореме Пифагора  (Ответ: 52.)

Дано: МАВС - тетраэдр, МА ABC, МС = 4 см; СВ = 6 см, CAB = 120°; АС = АВ (рис. 4).

Найти: MB, ABC.

 

 

Решение: ΔСМВ: MB = СМ = 4 см (так как СА = АВ, МА САВ наклонные тоже будут равны; в ΔСАВ проведем высоту АК, так как СА = АВ по условию ΔСАВ - равнобедренный. АК - является медианой и высотой;  КВ2 = АВ2 - АК2; обозначим АК = х, получим уравнение:   (Ответ: 30°.)

Остальные учащиеся решают задачу.

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, которое проведено через середины ребер АВ, AD и А1В1. Каким многоугольником является это сечение?

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, L A1B1, L - середина A1B1, М AD, М - середина AD; К АВ, К - середина АВ (рис. 5).

Построить: 1) сечение LKM; 2) Каким многоугольником является сечение.

 

image405

 

Построение:

1) LKM А1АВ = L.

2) LKM ABC = М.

3) Грани ABC параллельны А1В1С1, значит, отрезки сечения параллельны.

4) Строим LN || KM.

5) KLNM - параллелограмм.

Ответьте на вопросы:

- Что называется параллелепипедом?

- Грани, вершины, противоположные вершины, противоположные ребра, диагональ параллелепипеда.

- Свойства параллелепипеда.

Объяснение темы

1) Определение прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

2) Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

Самостоятельно доказать свойство.

3) Понятия измерений прямоугольного параллелепипеда.

4) Теорема:

Доказательство предлагается учащимся выполнить самостоятельно.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.

Доказать:

Доказательство: так как СС1 ABCD ACC1 - прямой из прямоугольника ΔАСС1: по теореме Пифагора  АС - диагональ прямоугольника ABCD, поэтому  следовательно,  теорема доказана.

Следствие: диагонали параллелепипеда равны.

Предложить учащимся назвать все диагонали:

 

III. Формирование навыков и умений учащихся

№ 187 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 39 ; AD = 7; АА1 = 9.

Найти: АС1.

Решение:  (Ответ: 13.)

№ 190 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; К - середина A1D1 (рис. 6).

Найти: Двугранный угол А1ВВ1К.

 

image407

 

Решение: Плоскости   значит,  значит,   (по определению перпендикулярной прямой и плоскости); А1В1К — линейный угол двугранного угла КВ1ВА из прямоугольного ΔА1В1К; A1 - прямой,  (К - середина A1D1 - по условию); А1В1 = а — все ребра у куба равны;  (Ответ: )

№ 193. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. D1B = d; AC = m; AB = n (рис. 7).

Найти: расстояние между прямой DD1 и плоскостью АСС1.

 

image406

 

Решение: DD1 || АА1С1 (так как DD1 || АА1, признак параллельности прямой и плоскости). Проведем

 (Ответ: )

 

 

 

IV. Подведение итогов

 

Домашнее задание:

П. 24, A - № 1876; 193 а; 190 а; В - 1) № 217.

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; ОМ DC; B1D = d.

Найти: O1М.

Решение: обозначим AD = х, тогда ; по теореме;  ; по теореме Пифагора   (Ответ: )

№ 1876. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 8; ВС = 9; AA1 = 12 (рис. 9).

Найти: АС1.

 

image408

 

Решение: По теореме  (Ответ: 17.)

№ 193 а. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = n, BD = d, BD = m (рис. 10).

Найти: АА1. 

 

image409

 

Решение:  расстояние между плоскостями равно АА1 по свойству прямоугольника BD = АС = m, из прямоугольного ΔBD1D по теореме Пифагора  (Ответ: )






загрузка...
загрузка...