загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

(уроки 37-44)

 

Урок 38. Признак перпендикулярности двух плоскостей

 

Цели урока:

1) ввести понятие угла между плоскостями;

2) дать определение перпендикулярных плоскостей;

3) доказать признак перпендикулярности двух плоскостей;

4) показать применение этого признака при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

 

II. Актуализация опорных знаний

Двое учеников у доски записывают решение домашнего задания: первый - № 167, второй - № 170.

Остальные отвечают на вопросы:

Точка А лежит на ребре двугранного угла.

1. Верно ли, что ABC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру? (Нет.)

2. Верно ли, что BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла? (Нет.)

3. Верно ли, что BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру, а точки В а С лежат на гранях угла? (Да.)

4. Линейный угол двугранного угла равен 80°. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани? (Нет.)

5. ABC - линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC? (Да.)

6. Верно ли, что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости? (Да.)

- Что называется углом между прямыми?

- Двугранным линейным углом двугранного угла?

- Углом между прямой и плоскостью?

 

III. Изучение нового материала

1. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

 

 

2. Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

 

 

3. Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей (плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты).

Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2).

4. Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ β, АВ α = А (рис. 3).

Доказать: α β.

 

 

Доказательство: α β = АС, АВ АС, так как АВ β по условию. Проведем в плоскости β AD AC. BAD - линейный угол двугранного угла. Но BAD = 90°, так как ВА β. Значит, α β.

 

IV. Формирование навыков и умений учащихся

1. При решении задач используются утверждения:

а) Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).

б) Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).

2. № 172. Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

 

 

Решение: Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС АС. Отсюда следует, что ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:  Из ΔВКС:  (Ответ: 63 см.)

3. Разобрать домашнее задание № 173, 174.

Наметить план решения № 173, 174.

 

 

V. Подведение итогов

 

Домашнее задание

П. 23 № 173, № 174.

№ 173. Дано: ABCD - тетраэдр, CD (ABC). AB = BC = AC = 6, BD = 37 (рис. 5).

Найти: двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

 

 

Решение:

1) Так как DC (ABC), то (DCA) (ABC) (признак перпендикулярности двух плоскостей) следовательно, двугранный угол DACB прямой.

2) Проведем СК АВ, тогда АВ DK по Теореме о трех перпендикулярах, следовательно, DKC - линейный угол двугранного угла при ребре АВ тетраэдра. Из ΔАСК:

3) Из ΔBDK имеем:

4) Пусть CKD = α, тогда  Значит, двугранный угол DABC = 45°.

5) Так как ВС DC и АС DC, то ABC - линейный угол двугранного угла BDCA. ACB = 60° (ΔАВС - равносторонний), то двугранный угол BDCA равен 60°. (Ответ: 90°, 45°, 60°.)

№ 174. Дано: ABCD - тетраэдр,

Найти: двугранный угол ABCD.

 

 

Решение:

1) Так как DAB = DAC = ACB = 90° по условию, то DA АВ, DA AC. Значит, DA - перпендикуляр к плоскости ABC, АС - проекция наклонной DC на плоскость ABC.

2) По условию задачи ACB прямой, то есть ВС АС, следовательно, ВС DC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, ACD - линейный угол двугранного угла ABCD.

3) Из ΔDCB: по теореме Пифагора

4) Из ΔDAC получаем: пусть ACD = x, тогда   (Ответ: 60°.)





загрузка...
загрузка...