загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

(уроки 37-44)

 

Урок 37. Двугранный угол

 

Цели урока:

1) ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;

2) рассмотреть задачи на применение этих понятий;

3) сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформировать цели урока.

 

II. Актуализация знаний учащихся

1. Сообщить итоги самостоятельной работы.

Анализ распространенных ошибок.

2. Проверка домашнего задания.

3. Подготовка к изучению нового материала.

- Что называется углом на плоскость?

- Что называется углом между прямыми в пространстве?

- Что называется углом между прямой и плоскостью?

 

III. Изучение нового материала

1. Понятие двугранного угла (рис. 1 а, б).

а) прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости;

б) двугранный угол.

 

image383

 

Вывод:

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости - грани, прямая а - ребро двугранного угла.

- Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла?

(Полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом, двускатные крыши зданий и т.д.)

2. Пусть О а, АО а, ВО a, AOB - линейный угол двугранного угла (рис. 2, 3).

3. Все линейные углы двугранного угла равны.

 

image382

 

image384

 

Докажем это.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQK. Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ, значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, AOB = PQR (как углы с сонаправленными сторонами).

4. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

 

 

а) острый (α < 90°); б) прямой (α = 90°); в) тупой (90° < α < 180°).

5. Обозначение двухранного угла.

Двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, называется двугранным углом CABD.

 

IV. Закрепление изученного материала

1. Сделайте чертежи к задачам

№ 1

Дано: ΔABC, АС = ВС, АВ лежит в плоскости α, CD α, С α (рис. 5).

Построить линейный угол двугранного угла CABD. CM AB, DC АВ. CMD - искомый.

 

image387

 

№ 2

Дано: ΔABC, C = 90°, ВС лежит плоскости α, АО α, A α (рис. 6).

Построить АВСО. AB BC, АО ВС, значит, ОС ВС. ACO - искомый.

 

image388

 

№ 3

Дано: ΔABC, С = 90°, АВ лежит в плоскости α, CD α, С α (рис. 7).

Построить DABC. CK AB, DC АВ, DK АВ, значит, DKC - искомый.

 

image389

 

Дано: ABCD - квадрат, MB ABC (рис. 8).

Построить:

а) (MDC; АВС); б) MADB; a) MCB - искомый; б) MAD - искомый.

 

image386

 

Дано: DABC - тетраэдр, DO ABC (рис. 9).

Построить: ABCD

DM ВС, DO ВС, значит, ОМ ВС; OMD -  искомый.

 

 

№ 175 (устно).

 

V. Подведение итогов

 

Домашнее задание П. 22 № 167, 170.

2. Решение задач

№ 171. Дано: ΔAВС, C = 90°, АС = ВС, АВ лежит в плоскости α, угол между СВ и α 30° (рис. 10).

Найти: угол между плоскостью α и плоскостью треугольника ABC.

 

image391

 

Решение:

1) Проведем СО α. Тогда CBO = 30°. Пусть в ΔCОВ СО = а, тогда СВ = 2а.

2) Проведем CD АВ, тогда АВ DO по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. CDO - искомый угол.

3) Из ACDB, CBD = 45°, CD = CB · sin 45°, CD = a2. 4) Из ΔCDO:  (Ответ: 45°.)

№ 175 (устно).

 

V. Подведение итогов

 

Домашнее задание

П. 22 № 167, 170.

№ 167. Дано: DABC - тетраэдр;  (рис. 11).

Доказать: DMB - линейный угол двугранного угла ВACD.

 

image392

 

Решение: Так как ΔАВС и ΔADC - равнобедренные, то медианы ВМ и DM являются высотами. Значит, ВМ AC, DM AC. DMB - линейный угол двугранного угла ВАCD.

№ 170. Дано: ΔАВС, АС лежит в плоскости α,   двугранный угол ВАСВ1 равен 45° (рис. 12).

Найти: расстояние от точки В до прямой АС и до а.

 

image393

 

Решение:

1) ΔABC - тупоугольный (ΔВАС > 150°), поэтому К АС. Проведем ВК СК.

2) Так как AC ВК, то AC В1К по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит, BKB1 - линейный угол двугранного угла ВАСВ, BKB1 = 45°.

3) Из ΔВАК:  Из ΔBKB1:  (Ответ: )

 

Дополнительные задачи

I уровень

Треугольник AВС - прямоугольный  Чему равен угол между плоскостями ADC и АСВ?

Дано:

Найти: угол между плоскостями ADB и АСВ.

Решение:

1) DK АВ, CD АВ, значит, СК АВ; DKC - искомый.

2) Из ΔАКС:   (катет противолежащей 30°).

3) Рассмотрим ΔDCK:  (Ответ: 60°.)

 

 

II уровень

Через сторону ромба ABCD проведена плоскость α.

Сторона АВ составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью α, если острый угол ромба равен 45°.

Дано: ABCD - ромб, α, AD лежит в плоскости α, DAB = 45°, угол между плоскостью α и стороной АВ составляет 30° (рис. 13).

Найти: угол между плоскостью ромба и плоскостью α.

 

image394

 

Решение:

1. Проведем ВВ1 α. Тогда углом между стороной АВ и плоскостью α будет угол BAB1; BK AD, ВВ1 AD, значит, КВ1 AD, BKB1 — угол между плоскостью ромба и плоскостью α.

2. Обозначим АВ = а, тогда ВВ1 = a/2 (противолежащий 30°).

3. Из ΔАКB: A = 45°; K = 90°  B = 45°. По теореме Пифагора: АВ2 = АК2 + ВК2, а АК = ВК, следовательно, 2ВК2 = АВ2, 2ВК2 = а2,

4. Из ΔKB1B:  (Ответ: 45°.)






загрузка...
загрузка...