загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

(уроки 25-30)

 

Урок 33. Повторение теории. Решение задач на применение теоремы о трех перпендикулярах (ТПП), на угол между прямой и плоскостью

 

Цели урока:

1) повторить доказательство теоремы о трех перпендикулярах, понятия угла между прямой и плоскостью;

2) закрепить навыки решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

1. 1 человек доказывает ТПП, 1 человек на доске решает одну из домашних задач.

2. Работа с классом устно.

- Что называется перпендикуляром и наклонной?

Проведем через точку А прямую, перпендикулярную α, а α = Н (рис. 1).

 

image361

 

Отрезок АН называется перпендикуляром, точка Н - основание. Возьмем любую точку М α и отличную от Н. Отрезок AM называется наклонной. Отрезок НМ - проекция наклонной.

Длина перпендикуляра всегда меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

- Что называется расстоянием между параллельными плоскостями? Привести примеры (расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости).

- Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью? Привести примеры (расстояние от произвольной точки прямой до плоскости).

- Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? Привести примеры (расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельную первой).

 

II. Решение задач

Задача № 1

В ΔАВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см.

а) Укажите проекцию ΔDBC на плоскость ABC.

б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, DB (ABC), DB = 15 см (рис. 2).

Найти: а) проекцию ΔDBC на (ABC), б) расстояние от точки D до АС.

 

image362

 

Решение:

а) 1. Так как DB (ABC) по условию, то проекцией отрезка DB является точка В, проекцией наклонной DC является отрезок ВС.

2. Проекцией ΔDBC на (ABC) является отрезок ВС.

б) 1. Расстояние от точки D до прямой АС-это длина перпендикуляра.

2. Так как в ΔDBC B = 90° и в ΔDBA B = 90°, катет DB общий, ВА = ВС по условию, то ΔDBC = ΔDBA по двум катетам. Значит, DA = DC.

Вывод: Если проекции наклонных равны, то и сами наклонные равны и наоборот.

3. ΔCDA - равнобедренный.

4. DK - высота, медиана и биссектриса в ΔCDA. Значит, длина отрезка DK - это расстояние от точки D до АС.

5. ΔDBK, B = 90°,

6. Что мы знаем о ΔABC? (Он равнобедренный, и мы знаем длины его сторон.) Применим теорему косинусов,

7. ВК является катетом в одном из равных треугольников ВКА и ВКС. Рассмотрим ΔВКА, K = 90°,  Так как в ΔАКB, K = 90°, B - острый, то cos B > 0. Значит,

8.  (Ответ: а) BС; б) 17 см.)

 

 

III. Подведение итогов

- Какие теоретические вопросы по теме мы использовали при решении этой задачи?

 

Домашнее задание

§ 2, № 147, 151.

№ 147. Дано: ABCD - прямоугольник, MB (ABCD) (рис. 3).

Доказать: ΔAMD и ΔMCD - прямоугольные.

 

image363

 

Доказательство:

1. MB - перпендикуляр, AM и МС - наклонная, АВ и ВС их проекции.

2. Так как AD АВ, по ТТП AD AM, в ΔAMD ZA = 90°.

3. Так как DC ВС, то по ТТП CD МС, в ΔDCM ZC = 90°.

№ 151. Дано: ΔАВС, CD (АВС), СН - высота ΔABC.

Доказать: a) ΔABC - проекция ΔABD на (ABC); б) DH - высота ΔABD.

 

image364

 

Доказательство:

a) CD - перпендикуляр к (АВС), С - проекция точки D. Отрезок СВ - проекция наклонной DB, а СА - проекция DA на (АВС), АВ (ABС).

Проекциями сторон ΔАВС на (ABC) являются соответствующие стороны ΔАВС. Если М любая внутренняя точка ΔABD, то M1 ее проекция тоже является внутренней точкой ΔАВС. Таким образом, ΔАВС является проекцией ΔABD на (ABC).

б) АВ СН по условию, АВ DH по ТПП, то есть DH - высота ΔABD.






загрузка...
загрузка...