загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

(уроки 25-30)

 

Урок 30. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

 

Цели урока:

1) совершенствовать навыки решения задач;

2) проверить теоретические знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урок.

 

II. Актуализация знаний учащихся

1. Разобрать задачи из домашнего задания, с которыми не справились большинство учащихся.

2. Решение задач на готовых чертежах (для учащихся, справившихся с домашним заданием).

Решение проводится с последующей проверкой и обсуждением решения для учащихся всего класса.

Прямая а перпендикулярна плоскости ABC (рис. 1, 2, 3, 4).

1. Рис. 1. ACB = 90°, АС = 4, MD = 3. Найти: МС.

 

image323

 

2. Рис. 2. ΔАВС - равносторонний, АВ = 23, MD = 4. Найти: МС.

 

image325

 

3. Рис. 3. Найти: MB.

 

image324

 

4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник, MD = 8. Найти: АВ и AD.

 

image326

 

Решения к задачам на готовых чертежах

№ 1

Решение:

1) Так как CD - медиана и высота в ΔАВС, то ΔАВС - равнобедренный (по признаку) АС = ВС = 4.

2) ΔАВС - прямоугольный (ACB = 90°). По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2 = 42 + 42 = 32,  (по свойству медианы, проведенной к гипотенузе).

3) Так как  ΔMCD - прямоугольный. По теореме Пифагора:  (Ответ: 1.)

№ 2

Решение:

1) Так как CD - медиана равностороннего треугольника, то

2) Так как

3) ΔMDC - прямоугольный. По теореме Пифагора: МС2 = MD2 + DC2, МС2 = 42 + 32 = 25, МС = 5. (Ответ: 5.)

№ 3

Решение:

1)

2)  ΔАВМ - прямоугольный;   (Ответ: 12.)

№ 4

Решение:

1) Так как

2) ΔMAD - прямоугольный:  

3)  ΔABM - прямоугольный:   (Ответ: 26.)

 

III. Самостоятельная работа (см. приложение)

Решение задач самостоятельной работы

I уровень

Вариант I

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок,  (рис. 5).

Найти: АВ.

 

image327

 

Решение:

1) Так как  и существует плоскость β:  Тогда ABB1A1 - трапеция с основаниями АА1 и ВВ1.

2) Пусть AA2 - высота   тогда АА2В1А1 - прямоугольник;  (по свойству сторон прямоугольника);  то   

3) Так как АА2 - высота, то  ΔАА2В - прямоугольный, по теореме Пифагора  

 

 

 

 

№ 2. Дано:  ABCD - прямоугольник;  (рис. 6).

Найти: В1В.

 

image328

 

Решение:

1)

2) ΔABD, A = 90°. По теореме Пифагора: BD2 = AB2 + AD2.  

3) Так как BD ВВ1, то B1BD = 90°. ΔB1BD - прямоугольный. По теореме Пифагора:   (Ответ: 15 см.)

 

Вариант II

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок, АВ

Найти: А1В1.

Решение:

1)-2) см. решение задачи № 1 (I вариант);

3) AA2B = 90°, ΔАА2В - прямоугольный. По теореме Пифагора:  Значит, А1В = 12 см. (Ответ: 12 см.)

№ 2. Дано: ABCD - ромб;  (рис. 7).

Найти: АА1.

 

 

Решение:

1)

2) АС BD и АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей ромба). В ΔAОВ: AОВ = 90°,  По теореме Пифагора:

3)  ΔA1АС - прямоугольный, по теореме Пифагора   (Ответ: 5 см.)

 

II уровень

Вариант I

№ 1. Дано:  (рис. 8).

Найти: АВ.

 

 

Решение:

1)

2) Так как  Тогда существует плоскость β:

3) ΔАА1О и ΔВВ1О - прямоугольные,  (по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми АА1 и ВВ1 и секущей АВ) ΔАА1О ~ ΔBB1O (по равенству острых углов)  (по определению   подобных треугольников);

4) В  так как  то  Тогда  (Ответ: 24 см.)

№ 2. Дано: ABCD - прямоугольник; КА прямая КА (ABC) (рис. 9).

Доказать: КВ ВС.

 

image331

 

Доказательство:

1)  (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

2) Так как ABCD - прямоугольник, то

3)  ВС (АВК) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

4)  ВС КВ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

 

Вариант II

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок, АВ  (рис. 8).

Найти: АВ.

 

Решение:

1)-3) см. решение задачи № 1 (вариант I);  Так как A = B = 45, то ΔАА1О и ΔВВ1О - равнобедренные прямоугольные треугольники

4)

(Ответ: 8 см.)

№ 2. Дано: ABCD - квадрат; MB - прямая; MB (ABC) (рис. 10).

Доказать: МС CD.

 

image332

 

Доказательство:

1)

2) Так как ABCD - квадрат, то

3)  

 

III уровень

Вариант I

№ 1. Дано: ABCD - прямоугольник;  (рис. 11).

Доказать:

Найти: B1D1.

 

image333

 

Решение:

1)  (пo теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости); АВ || CD (по свойству сторон прямоугольника);   Следовательно,   (пo признаку).

2)  - параллелограмм (по признаку)

 (по свойству диагоналей параллелограмма).

3) ΔBAD, A = 90°. По теореме Пифагора: BD2 = AB2 + AD2 (AD = ВС);

4)

5) ΔD1DO - прямоугольный, по теореме Пифагора: D1О2 = D1D2 + DO2.  (Ответ: 26 см.)

№ 2. Дано: ABCD и AECF - квадраты; BD EF (рис. 12).

Доказать: EF (ABC).

Найти: (АС; ED).

 

image334

 

Решение:

1) АС EF (по свойству диагоналей квадрата); BD EF (по условию).  и  по признаку.

2)  Значит, (AC, ED) = 90°.

(Ответ: 90°.)

 

Вариант II

№ 1. Дано: ABCD - прямоугольник;  (рис. 13).

Найти: SABCD.

Доказать:

 

image335

 

Решение:

 (no признаку).

2)  - параллелограмм,

3)  - прямоугольный, по теореме Пифагора:

4)  По теореме Пифагора:

5)  (Ответ: 48 см2.)

 

 

№ 2. Дано: ABCD и ABEF - квадраты; AD AF (рис. 14).

Доказать: ВС (AEF).

Найти: (AD; BF).

 

image337

 

Решение:

 ВС (AEF) (по теореме, обратной к теореме, устанавливающей зависимость между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

2) Так как   (по определению прямой перпендикулярной плоскости). Значит, (AD, BF) = 90°.

 

 

IV. Проведение итогов

 

Домашнее задание

Решить задачи

I уровень - задачи II уровня (или III уровня, по усмотрению учителя) самостоятельной работы;

II уровень - задачи III уровня (или другой вариант) самостоятельной работы.






загрузка...
загрузка...