загрузка...


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

(уроки 25-30)

 

Урок 28. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

 

Цели урока:

1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2) выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и план урока.

 

II. Актуализация знаний учащихся

1) Теоретический опрос.

Сформулировать и доказать теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости (подготовиться у доски одному из учащихся, затем заслушать его ответ всем классом).

2) Индивидуальные письменные задания:

- доказать теорему о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей (1 ученик);

- доказать теорему, устанавливающую связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

- доказать теорему, обратную к теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

- доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (1 ученик).

3) Самостоятельное решение задач по готовым чертежам с последующей проверкой и обсуждением по необходимости.

I уровень: № 1, 2, 5.

II уровень: № 3, 4, 6.

Точка М лежит вне плоскости ABC.

1. Рис. 1. Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

 

image299

 

2. Рис. 2. BMDC - прямоугольник. Доказать: прямая CD перпендикулярна плоскости ABC.

 

image301

 

3. Рис. 3. ABCD - прямоугольник. Доказать: AD АМ.

 

image302

 

Решение к задачам 1-6.

4. Рис. 4. Доказать: ВС DE.

 

image300

 

5. Рис. 5. ABCD - параллелограмм. Доказать: прямая МО перпендикулярна плоскости ABC.

 

image303

 

6. Рис. 6. ABCD - ромб. Доказать: прямая BD перпендикулярна плоскости АМС.

 

image304

 

№ 1

Доказательство:

AC АВ (по условию), AC AM (по условию),

 (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

№ 2

Доказательство:

Так как BMDC - прямоугольник, то MBC = 90°, значит,

 MB (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MB || DC (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, DC (ABC) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

№ 3

Доказательство:

1) Так как ABCD - прямоугольник, то ABC = 90°, значит, ВС АВ, АВ (АВМ)

 ВС (АМВ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) BC || AD (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, AD (AMB) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

3)  AD AM (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

№ 4 (рис. 7)

 

image305

 

Доказательство: Так как ΔСМВ - равнобедренный (по условию) и MD - высота, то MD - медиана (по свойству высоты равнобедренного треугольника).

Значит, CD = BD (по определению медианы).

1) Так как ΔAВС - равнобедренный (по условию) и AD - медиана (по определению), то AD высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Значит, ВС AD.

2)  ВС (AMD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3)  ВС DE (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

 

№ 5

Доказательство:

1) AC BD = О; АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей параллелограмма).

2) ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО BD.

3) В ΔАМС: МО АС (доказывается аналогично п. 2).

4)  МО (AВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

№ 6 (рис. 8)

 

image306

 

Доказательство: AC BD и АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей ромба). ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО BD.

 (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

 

III. Решение задач

Решение письменно на доске и в тетрадях задачи № 130 (подробное решение в учебнике), № 134 (с помощью учителя), к доске вызвать сильного ученика.

№ 130

(Прежде чем приступать к решению задачи, повторить понятия: расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой. Сформулировать определения этих понятий.)

Дано: ABCD - квадрат; MB - прямая  (рис. 9).

 

Найти: а) МА, MD, МС; б) ρ (М; АС), ρ (М; BD).

 

image307

 

Решение:

1) АВ = ВС = CD = AD = n (по свойству сторон квадрата).

2) ΔАВМ и ΔСВМ - прямоугольные, так как MBA = МВС = 90°.

По теореме Пифагора:  Получим,

3) Так как BD - диагональ квадрата, то

4) Так как MBA = MBC = 90°, то

 MB (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, MB BD, BD (ABC) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

5) ΔMBD - прямоугольный (т. к. MB BD, то MBD = 90°). По теореме Пифагора:

6) ρ (M; BD) = MB (по определению расстояния от точки до прямой).  Значит, ρ (М; BD) = m.

7) АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей квадрата). Так как  то ΔAMC - равнобедренный (по определению) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию). Следовательно, МО АС.

8) ΔМВО - прямоугольный (так как MB BD, то MBO = 90°).  По теореме Пифагора: МO2 = ВO2 + ВM2.

9) МО = ρ (М; АС) (по определению расстояния от точки до прямой).  (Ответ: )

 

№ 134

(Учитель должен сформулировать идею решения задачи, если это необходимо.)

Дано:  (рис. 10).

Доказать: b α. (В ходе решения задачи учащимися следует задавать наводящие и уточняющие вопросы.)

 

image308

 

Доказательство:

Предположим, что b α (Что определяют две пересекающиеся прямые?)

По теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, существует плоскость β, проходящая через прямые а и b. (Каково взаимное расположение плоскостей α и β?)  Так как  (по определению прямой перпендикулярной плоскости). Получим,  противоречие. Значит, b α.

 

IV. Подведение итогов

 

Домашнее задание

1) Повторить материалы § 1, с. 34-38.

2) Решить задачи: № 129, 136.

Дополнительная задача

Дан ΔABC, АВ = АС = ВС, CD (ABC), AM = MB, DM = 15, CD = 12. Найти площадь ΔADB.






загрузка...
загрузка...
загрузка...