загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

(уроки 25-30)

 

Урок 26. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

 

 

 

Цели урока:

1) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости;

2) формировать навык применения признака перпендикулярности прямой й плоскости к решению задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели.

 

II. Проверка домашнего задания

Проверка домашних задач по готовым чертежам. Три человека у доски готовят доказательство леммы и двух теорем. В это время класс работает устно по готовым чертежам.

1 . Дано: АВ α, CD α, АВ = CD (рис. 1).

 

image279

 

Определить вид четырехугольника ABCD (параллелограмм), так как по теореме п. 16 АВ || CD, а четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

2. Дано: ABCD - параллелограмм, АВ α, АС = 8 (рис. 2).

Найти: BD.

 

image280

 

(BD = 8 см), так как АВ α и АВ || DC, то CD α. ABCD - прямоугольник АС = BD и BD= 8.

3. Дано: ABCD - параллелограмм, BD α, АВ = 6 (рис. 3).

Найти: РABCD.

 

image281

 

(ромб, Р = 24), так как BD α BD АС ABCD - ромб, Р = 4 · 6 = 24.

 

III. Изучение нового материала

А) Актуализация знаний

Задача № 119 а)

Дано: ОА α, ОА = OD (рис. 4).

Доказать: АВ = DB.

 

image282

 

Доказательство: ОА (ОВС) ОА ОВ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. ВО - медиана и высота в ΔABD ΔABD - равнобедренный AB = DB.

Б) Верно ли утверждение:

«Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости». Ответ обоснуйте. (Нет, приводится контр. пример; рис. 5, 6, 7.)

 

 

 

 

Возьмем две прямые. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися (рис. 6, 7).

Что вы замечаете? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Признак формулируется. Записываются условия и требования.

План доказательства (на доске).

 

 

1 этап. Дано:   (рис. 8).

Доказать: a OL.

1) АО = ОВ.

2) AP = BP, AQ = BQ.

3) ΔAPQ = ΔBPQ, поэтому APQ = BPQ.

4) MPL = ABPL, поэтому AL = BL.

5) В ΔABL медиана LO является высотой, то есть АВ OL или a OL.

2 этап, m - произвольная прямая плоскости α, OL || m.

Так как a OL, то а m, и, следовательно, а α.

3 этап. Дано: а р, а q.

Доказать: a α.

1) а1 || а.

2) Так как a1 α, то а α.

 

IV. Закрепление изученного материала

Задача № 121

(Указание: медиана, проведенная в прямоугольном треугольнике к гипотенузе, равна ее половине) (рис. 9).

 

image287

 

Решение:  (теорема Пифагора), СМ = 5, КМ = 13 (теорема Пифагора).

(Более сильные учащиеся решают задачу: Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - равные ромбы; углы между ребрами, имеющими общую точку А, равны. Выясните, перпендикулярна ли прямая А1С прямой B1D1).

Решение: Очевидно, что треугольники AA1D1 и АА1В1 равны, значит, АВ1 = AD1. Пусть О - середина отрезка B1D1. Значит, прямая B1D1 перпендикулярна плоскости АСС1, в которой лежат прямые А1О и АО. Прямая А1С также лежит в плоскости, поэтому прямые А1С и B1D1 перпендикулярны.

Дано: ABCD - параллелограмм, АМ = МС, ВМ = MD (рис. 10).

Доказать: МО (ABC).

 

image288

 

Доказательство:

1) ΔАМС - равнобедренный; МО - медиана =>МО АС.

2) ΔBMD - равнобедренный; МО - медиана => МО BD.

3)

 

V. Подведение итогов

Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через центр круга, перпендикулярна:

а) диаметру (нет, по определению);

б) двум радиусам (нет, так как радиусы могут лежать на диаметре);

в) двум диаметрам (да, по определению).

 

Домашнее задание

1) п. 17.;

2) № 124, 126.

3) Дополнительная задача

В параллелепипеде МРКНМ1Р1К1Н1 все грани - ромбы; М1МН + М1МР = 180°. Выясните, перпендикулярна ли прямая Р1Н прямой МК.

(Ответ: да (задача решается аналогично задаче для сильных учащихся из классной работы.)

Задача № 124

Дано:  (рис. 11).

Доказать: PQ = P1Q1.

 

 

Доказательство:

Значит, PQQ1P1 - параллелограмм PQ = P1Q1.

 

Задача № 126

Дано:  (рис. 12).

Найти: вид ΔMBD.

 

image290

 

Решение:

 

Значит, AMBD - прямоугольный.





загрузка...
загрузка...