загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 10 класс

Глава I

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

(уроки 11-15)

 

Урок 14. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

 

Цели урока:

1) повторить теорию;

2) подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания.

а) первый ученик у доски решает № 45 (а);

б) второй ученик у доски решает № 46;

в) третий ученик у доски решает № 90.

№ 45 а. Дано: ABCD - параллелограмм; а || ВС; а (ABCD) (рис. 1).

Доказать: а и CD - скрещивающиеся.

Найти: угол между а и CD, если BCD = 50°.

 

image131

 

Решение:

I. 1) Так как а || ВС, то проведем через них плоскость α.

2) D α, так как иначе DC α, то есть α совпала бы с плоскостью ABCD и а (ABCD), что противоречит условию.

3) Тогда DC α в точке С а;

4) Вывод: по теореме а и CD - скрещивающиеся.

II. Проведем через точку С прямую, параллельную прямой а. Это будет прямая СВ. Значит, угол между а к СВ равен углу между прямыми СВ и CD, то есть BCD = 50°. (Ответ: 50°.)

№ 47. Дано: ABCD - пространственный четырехугольник; АВ = CD, N - середина AD; М - середина ВС (рис. 2).

Доказать: угол между АВ и MN и угол между CD и MN равны.

 

image132

 

Решение:

1. Точка К - середина АС. Через точку М проведем МК || АВ, МК - средняя линия ΔABC, (MN, АВ) = KMN.

2. МК - средняя линия ΔABC, МК || АВ; МК = 1/2АВ. Через точку N проведем NK || DC, NK - средняя линия ΔADC, (DC, MN) = MNK.

3. NK - средняя линия ΔCDP; NK || CD; NK = 1/2CD.

4. КМ = 1/2АВ, NK = 1/2DC, так как АВ = DC, то КМ = NK, то есть ΔNMK - равнобедренный.

5. Вывод: KMN = MNK, что и требовалось доказать.

6.

№ 90 (рис. 3).

а) Решение: Если АВ α и АВ || DC, то DC || α;

б) Решение: АВ не параллельно CD. Так как АВ и CD лежат в одной плоскости ABCD, то АВ CD. Значит, CD пересекает плоскость α.

 

image133

 

2. Работа по карточкам (см. приложение)

Три ученика работают по карточкам.

Остальные учащиеся решают задачу по планиметрии.

Дано: ABCD - трапеция, описанная около окружности. АВ = CD. Т, М, Р, Е - точки касания окружности. ВТ = 2, АЕ = 8 (рис. 4).

Найти: SABCD.

 

image134

 

Решение:

 (Ответ: 80.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задач к карточкам

Карточка № 1

№ 1. Решение:

а) Так как К - середина АВ, и М - середина ВС, то КМ - средняя линия ΔАВС. КМ || АС и КМ = 1/2АС. Так как ACFE - квадрат, то EF || АС.

Вывод: KM || EF.

б) Так как ACFE - квадрат, то

(Ответ: а) КМ || EF; б) КМ = 4 см.)

№ 2. Дано: ABCD - трапеция: BC || AD - основания. AD α; точка Е - середина АВ; точка F середина CD; EF α (рис. 5).

Доказать: EF || α.

 

image136

 

Доказательство:

1. Так как Е - середина АВ, F - середина CD, то EF - средняя линия трапеции ABCD. EF || AD - по свойству средней линии.

2. AD α - по условию.

3. Вывод: EF || α (по признаку параллельности прямой и плоскости, п. 6, стр. 12).

№ 3. Дано: точки А, В, С, и D не лежат в одной плоскости (рис. 6).

 

image139

 

Найти: а) прямую, скрещивающуюся с АВ; б) прямую, скрещивающуюся с ВС.

(Ответ: a) DC; б) AD.)

 

Карточка № 2

№ 1. Дано: А, В, С, D - не лежат в одной плоскости; точка Е - середина АВ; точка F - середина ВС; точка М - середина DC; точка К - середина AD (рис. 7).

а) Доказать: EFMK - параллелограмм.

б) Найти: P(EFMK), если АС = 6 см; BD = 8 см.

 

image137

 

Решение:

а) КМ - средняя линия ΔADC КМ || АС; КМ = 1/2АС; MF - средняя линия ΔDCB        MF || BD; MF = 1/2BD; EF - средняя линия ΔABC EF || AC; EF = 1/2AC; KE - средняя линия ΔABD KE || BD; KE = 1/2BD. Значит,

Вывод: EFMK - параллелограмм.

б)  или  (Ответ: a) EFMK - параллелограмм; б) P(EFMK) = 14 см.)

№ 2. Дано: α - плоскость; точка  (рис. 8).

 

Доказать: b α.

 

image140

 

Доказательство: Пусть b α, но b проходит через точку A α, b α в точке А. А так как a || α, то получается, что b α, что противоречит условию. Значит, прямая b α, что и требовалось доказать. (Ответ: b α.)

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 9).

Укажите: три прямые, проходящие: а) через точку D и скрещивающиеся с прямой АВ1; б) через точку B1 и скрещивающиеся с прямой A1D1.

 

image138

 

Решение:

а) прямая АВ1 (AA1B1B); прямые DD1, DC и DB - скрещивающиеся с прямой АВ1, так как они не лежат в плоскости (АА1В1В);

б) прямая A1D (AA1D1D); прямые B1D1, В1С1 и ВВ1 - скрещивающиеся с прямой A1D, так как они не лежат в плоскости (AA1D1D). (Ответ: a) DD1, DC, DB; б) B1D1; В1С1; ВВ1.)

 

Карточка № 3

№ 1. Дано: (ABC) - плоскость; точка M (ABC); точка D - точка пересечения медиан ΔМАВ; точка Е - точка пересечения медиан ΔМВС (рис. 10).

а) Доказать: ADEC - трапеция.

б) Найти: DE, если АС = 12 см.

 

image141

 

Решение:

а) Рассмотрим ΔАКС и ΔDEK. У них

а)  (по свойству медиан в треугольниках); б) K - общий. Значит, ΔАКС и ΔDEK подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из этого следует,  и они являются соответственными при прямых DE и АС и секущих АК и СК.

Вывод: DE || АС, значит, ADEC - трапеция.

б) Так как ΔАKC ~ ΔDKE с коэффициентом подобия k = 1/3, то  (Ответ: a) ADEC - трапеция; б) DE = 4 см.)

 

№ 2. Дано: АА1, ВВ1, СС1 - отрезки, не лежащие в одной плоскости. АА1 ВВ1 СС1 в точке О. Точка О - их середина (рис. 11).

Доказать: прямая АВ || (А1СВ1).

 

image142

 

Доказательство: Рассмотрим плоскость, проходящую через отрезки АА1 и ВВ1 (такая есть и единственная, так как АА1 ВВ1 в точке О).

В этой плоскости лежит четырехугольник АВА1В1, диагонали которого точкой пересечения О делятся пополам. Значит, АВА1В1 - параллелограмм. Следовательно, АВ || А1В1, а А1В1 прямая, которая лежит в плоскости А1СВ1, следовательно, АВ || (А1СВ1). (Ответ: АВ || (А1СВ1).)

Выслушивается и проверяется решение домашних задач.

 

III. Решение задач (фронтальная работа)

Дополнительные задачи, № 88 стр. 32.

Дано: AC || BD - прямые; АС α в точке А; DB α в точке В; точки С и D лежат по одну сторону от α; АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см (рис. 12).

Доказать: CD α в точке Е.

Найти: BE.

 

 

Решение:

1. Проведем плоскость через прямые АС и BD. Если CD || АВ, то ABCD - параллелограмм, значит АС = BD, но АС = 8 см, BD = 6 см. Значит CD не параллельна АВ, но так как они лежат в одной плоскости, то CD АВ в точке Е, то есть CD α в точке Е.

2. а)  как соответственные при AC || BD и секущих АЕ и СЕ.

б) ΔEDB ~ ΔЕСА (по трем углам)  (Ответ: 12 см.)

Дополнительные задачи, № 97 стр. 32 (рис. 13 а, б, в).

 

 

Решение: Рассмотрим АВС и А1В1С1, у которых АВ || А1В1 и ВС || В1С1. Проведем прямую ВВ1.

а)  тогда АВС = А1В1С1 (см. п. 8) (рис. 13 а).

б)  тогда рассмотрим АВC2 - смежный к АВС (по теореме пункта 7) АВС2 = А1В1С1, значит,  (рис. 13 б).

в)  тогда рассмотрим А2ВС2 - вертикальный к АВС. Следовательно,  (см. рис. 13 в).

 

 

№ 87 б. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.  (рис. 14).

Построить: MNK - сечение.

 

image145

 

image146

 

Построение: Возможны два случая:

I. 1) Соединим точки К и М, КМ || ВС;

2)   (точка N AD);

3) Соединим К с А и M c D;

4) AKMD - искомое сечение.

II. 1) КМ ВС в точке L;

2) Через точку N проведем прямую а || КМ;

3) а АА1 в точке Р;

4) Соединим точу К и точку Р;

5) NL DC в точке К;

6) KPNRM- искомое сечение.

 

IV. Подведение итогов

 

Домашнее задание

П. 1-9. № 87 а, 46, 93.

Вопросы № 9-16 (стр. 31-32).





загрузка...
загрузка...