Вариант № 5 - Учебно-тренировочные тесты - МАТЕМАТИКА ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Часть 1

В1. В школе есть трёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвуют 25 человек?

В2. На рисунке 39 точками показано суточное количество осадков, выпадавших с 11 по 23 сентября. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков в миллиметрах, выпавшее в соответствующий день. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько миллиметров осадков выпало 17 сентября.

Рис. 39.

В3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 40). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 40.

В4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в минутах.

	1	2	3
1. Автобус	От дома до автобусной станции — 10 мин.	Автобус в пути: 1 ч 25 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком — 25 мин.
2. Электричка	От дома до станции железной дороги — 40 мин.	Электричка в пути: 55 мин.	От станции до дачи пешком — 30 мин.
3. Маршрутное такси	От дома до остановки маршрутного такси — 35 мин.	Маршрутное такси в пути: 3/4 ч.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком — 35 мин.

В5. Найдите корень уравнения

В6. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos В = 0,5, АВ = 16. Найдите ВС.

В7. Найдите значение выражения

В8. На рисунке 41 изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀.

Рис. 41.

В9. Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. рис. 42), если АВ = 8, AD = 3, АА₁ = 5.

Рис. 42.

В10. Вася, Петя, Дима, Коля и Андрей тянут жребий, кому идти в магазин за продуктами. Найдите вероятность того, что поход за продуктами выпадет Диме.

B11. Прямоугольный параллелепипедописан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объём параллелепипеда (см. рис. 43).

Рис. 43.

В12. Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор и объективности Тr публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от —3 до 3. Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула примет вид Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 105?

В13. Первые 360 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 200 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В14. Найдите наименьшее значение функции у = х³ — 4х² — 3х + 2 на отрезке [2; 5].

Часть 2

С1. а) Решите уравнение 3^{3 cos x ∙ cos 2x} = 1/3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К — середина ребра BB₁, A₁B₁C₁D₁ — квадрат, В₁К = 3, а синус угла между плоскостями ABD и АКС равен 3/4. Найдите ВС.

С3. Решите систему неравенств

С4. На стороне АВ и CD прямоугольника ABCD взяты соответственно точки К и М так, что в трапеции МКВС и AKMD можно вписать круги, площадь каждого из которых в 4 раза меньше площади ABCD. Прямые, содержащие отрезки МК и ВС, пересекаются в точке Р. Найдите расстояние от точки Р до АВ, если точка М делит сторону CD в отношении 3 : 7, АВ = 10.

С5. При каких значениях параметра а система имеет более двух решений?

С6. Через n! обозначается произведение натуральных чисел от 1 до n. Например, 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720. Для любого натурального числа k будем через d(k) обозначать количество его делителей, включая 1 и само число k. Могут ли выполняться следующие равенства? Если да, то для каких n они выполняются?

a) d((n!)²) = 18281828

б) d((n!)²) = 105

в) d(2ⁿ(n!)²) = 108