загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС

Глава II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

 

§ 5. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ

 

Урок 39. Квадратный корень из произведения и дроби

 

Цель: рассмотреть свойства квадратного корня из произведения и дроби.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Перечислите основные свойства функции  и нарисуйте ее график.                             

2. Сравните числа:

3. Расположите числа в порядке возрастания:

4. В какой точке график функции  пересекает прямая у = -2х - 1 (если они пересекаются)?

Вариант 2

1. Перечислите основные свойства функции у = х2 и нарисуйте ее график.

2. Сравните числа:

3. Расположите числа в порядке убывания:

4. В какой точке график функции  пересекает прямая у = -3х - 2 (если они пересекаются)?

 

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Теорема: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей, т. е.   (где a ≥ 0 и b ≥ 0). Докажем это утверждение. Для этого покажем, что выполняются два условия:

Так как a ≥ 0 и b ≥ 0, то каждое из выражений  имеет смысл. По определению арифметического квадратного корня выражения  принимают только неотрицательные значения. Поэтому произведение  неотрицательно.

 

Используя свойство степени произведения, имеем:  Таким образом, мы показали, что выполняются условия 1) и 2). Значит, при любых неотрицательных значениях а и b по определению арифметического квадратного корня выполняется равенство

Пример 1

Найдем значение выражения:

а) Используем теорему о корне из произведения:

б) Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа. Применим также теорему о корне из произведения. Имеем:

в) В подкоренном выражении разложим разность квадратов чисел на множители и используем теорему о корне из произведения. Получаем:

Доказанная теорема справедлива и в случае, когда число множителей в подкоренном выражении больше двух. Докажем это утверждение, например, для трех множителей a ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥ 0. Получаем:

 

Пример 2

Еще раз вернемся к примеру 16) и получим:

Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби. Теорема: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен отношению корня из числителя к корню из знаменателя, т. е.  (где а ≥ 0 и b > 0). Докажем это утверждение. Для этого покажем, что выполняются два условия: 1)  и 2)

Так как а ≥ 0 и b > 0, то каждое из выражений  имеет смысл. По определению арифметического квадратного корня выражение  принимает только неотрицательные значения, а выражение  — только положительные значения. Поэтому дробь  неотрицательна.

 

Используя свойства степени дроби, имеем  Таким образом, мы показали, что выполняются условия 1) и 2). Значит, при любых неотрицательных значениях а и положительных значениях b по определению арифметического квадратного корня выполняется равенство

 

Пример 3

Найдем значение выражения

По теореме о корне из дроби имеем:

Разумеется, можно сочетать теоремы о корне из произведения и корне из дроби.

 

Пример 4

Найдем значение выражения      

Используя указанные теоремы, получим:

Рассмотренные теоремы справедливы для любых выражений (числовых и алгебраических).

 

Пример 5

Упростим выражение  

Используя теоремы о корне из произведения и корне издроби, получим

Тождества  также удобно использовать, поменяв их части местами:

 

 

Пример 6

Найдем произведение

Получаем:

 

Пример 7

Найдем частное

 

Пример 8

Найдем значение выражения

Используя рассмотренные тождества, получим:

 

Пример 9

Упростим выражение

По смыслу задачи переменная a > 0. Получаем:

 

 

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из произведения чисел.

2. Сформулируйте и запишите теорему о квадратном корне из дроби.

 

V. Задание на уроке

№ 357 (а, д); 358 (а, е); 360 (д); 363 (б); 365 (е); 371 (а, д); 372 (в); № 373 (в).

 

VI. Задание на дом

№ 357 (е); 358 (в, д); 360 (е); 363 (г); 365 (д); 371 (б, в); 372 (д, з); 373 (д).

 

VII. Подведение итогов урока






загрузка...
загрузка...