загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС

Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

 

§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ

 

Урок 16. Функция у = k/x и ее график

 

Цель: рассмотреть функцию у = k/x, ее свойства и график.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Упростите выражение

Ответы:

2. Найдите значение выражения  при а = -0,7, b = 0,3.

Ответы: а) 7/3; б) 5/4; в) 7/4.

 

Вариант 2

1. Упростите выражение

Ответы: а) -1; б) a/b; в) –b/a.

 

2. Найдите значение выражения  при a = 0,3, b = 0,8.

Ответы: а) 6/35; б) 3/35; в) -8/35.

 

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Пример 1

Пусть поезд, двигаясь со скоростью х км/ч за y часов, проехал расстояние 700 км. Тогда выполняется равенство ху = 700. Выразим из этого равенства переменную y = 700/x. При увеличении значения х в несколько раз соответствующее значение у уменьшается во столько же раз (т. е. чем быстрее движется поезд, тем меньше ему требуется времени для прохождения этого пути). Например, при скорости х = 35 км/ч время движения y = 700/35 = 20 часов. При скорости х = 70 км/ч (вдвое большей) время движения у = 700/70 = 10 часов (вдвое меньше). Видно, что время движения у обратно пропорционально скорости движения.

В этом примере переменные х и у принимали только положительные значения. В дальнейшем будут рассматриваться функции, задаваемые формулой вида у = k/x (где k — число, не равное нулю), в которой переменные х и у могут принимать и положительные и отрицательные значения. К подобным функциям приводят многие задачи математики: площадь S прямоугольника со сторонами а и b равна S = ab (откуда b = S/a), площадь S треугольника с основанием а и высотой h равна S = ah/2 (откуда h = 2S/a) и физики: пройденный путь S при движении тела со скоростью V в течение времени t равен S = Vt (откуда t = S/V), падение напряжения U на участке цепи с сопротивлением R при протекании тока I равно U = RI (откуда I = U/R) и т. д.

Обратной пропорциональностью называется функция вида у = k/x, где х — независимая переменная; k — число, не равное нулю. Областью определения функции у = k/x является множество всех чисел, кроме нуля. Это следует из того, что выражение k/x имеет смысл при всех х ≠ 0.

 

Пример 2

Построим график функции у = 6/x, предварительно вычислив значения функции на промежутке -6 ≤ х ≤ 6 с шагом 0,5.

 

x

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

y

-1

-1,09

-1,2

-1,33

-1,5

-1,71

-2

-2,4

-3

-4

-6

-12

 

x

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

y

12

6

4

3

2,4

2

1,71

1,5

1,33

1,2

1,09

1

 

 

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых размещены в таблице (отмечены не все точки). Через эти точки проведен график данной функции.

Выясним некоторые особенности графика функции. Так как при х = 0 функция не определена, то на графике нет точки с абсциссой О (т. е. график не пересекает ось у). Для функции у = 6/x при любых значениях х значение у не равно нулю. Поэтому график не пересекает ось х.

Положительным значениям х соответствуют положительные значения у (первая координатная четверть). Отрицательным значениям х соответствуют отрицательные значения у (третья координатная четверть). Из таблицы видно, что для противоположных значений х значения у также противоположны, т. е. у(-х) = -у(х). Функции, обладающие таким свойством, называются нечетными. Очевидно, что точки с координатами (х, у) и (-х, -у) симметричны относительно начала координат. Так как равенство       выполнено для любых допустимых значений х, то ветви графика симметричны относительно начала координат.

Рассмотрим ветвь графика, расположенную в первой координатной четверти. При уменьшении х знаменатель в выражении у = 6/x уменьшается. Поэтому значения у возрастают. Например, если х = 1, то у = 6; при х = 0,1 у = 60. При этом график функции приближается к оси ординат. Прямая с уравнением х = 0 называется вертикальной асимптотой графика функции у = 6/x.

С увеличением х знаменатель в выражении у = 6/x возрастает. Поэтому значения y уменьшаются. Например, при х = 1 у = 6, при х = 10 у = 0,6, при х = 100 y = 0,06. Видно, что при достаточно больших значениях х значения функции y почти равны нулю. При этом график функции приближается к оси абсцисс. Прямая с уравнением у = 0 называется горизонтальной асимптотой графика функции у = 6/x.

Заметим, что такой же вид имеет график любой функции при любом значении k > 0.

 

Пример 3

Построим график функции у = -6/x. Аналогично предыдущему примеру составим таблицу значений функции в промежутке -6 ≤ х ≤ 6. Отметим полученные точки на координатной плоскости и построим график функции.

 

 

Видно, что в этом случае график функции имеет те же особенности, что и в предыдущем примере. Область определения функции — множество всех чисел не равных нулю. График не пересекает осей координат.

График имеет вертикальную асимптоту с уравнением х = 0 и горизонтальную асимптоту с уравнением y = 0. График зависимости у = -6/x по-прежнему представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей. Эти ветви симметричны относительно начала координат. Однако в отличие от графика функции у = 6/x в этом случае одна ветвь расположена во второй четверти, а другая ветвь — в четвертой координатной четверти.

График функции у = k/x при любом значении k < 0 имеет такой же вид, что и график, изображенный на рисунке.

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности у = k/x, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

 

Пример 4

Гипербола проходит через точку A (2; -5). Напишем уравнение этой гиперболы.

Гипербола является графиком обратной пропорциональности у = k/x. Так как этот график проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению такой зависимости. Получаем: -5 = k/x. Из этого уравнения найдем k = -5 · 2 = -10. Следовательно, данная гипербола описывается зависимостью y = -10/х.

 

IV. Контрольные вопросы

1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

2. Основные особенности функции.

3. Нарисуйте эскиз графика функции для случая: а) k > 0, б) k < 0. В каких четвертях располагается этот график?

4. Какая кривая называется гиперболой? Как располагаются ветви гиперболы?

 

V. Задание на уроке: № 172, 174, 175, 178, 180 (а, б), 181, 182 (а).

 

VI. Задание на дом: № 173, 176,177, 179, 180 (в, г), 182 (б), 183, 184.

 

VII. Подведение итогов урока





загрузка...
загрузка...