загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС

Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

 

§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ

 

Урок 12. Деление рациональных дробей

 

Цель: рассмотреть более сложные задачи, связанные с делением рациональных дробей.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Выполните деление

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

 

Вариант 2

1. Выполните деление 

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

 

III. Изучение нового материала (основные понятия)

С делением рациональных дробей связано значительное число самых разнообразных задач.

Пример 1

Найдите допустимые значения переменной дробного выражения  Представьте это выражение в виде дроби.

Числитель этого выражения   имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -2 (т. к. делить на нуль нельзя). Упростим это выражение:  Знаменатель этого выражения  имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -3. Преобразуем это выражение:  Эта дробь обращается в нуль, если ее числитель 2(3х + 8) = 0. Из этого уравнения найдем х = -8/3.

Теперь разделим числитель  данного выражения на знаменатель  используя правило деления дробей. Имеем:  Итак, данное выражение имеет смысл при всех значениях х таких, что х ≠ -2, х ≠ -3 и х ≠ -8/3. После преобразований данное выражение записано в виде рациональной дроби

 

Пример 2

Известно, что  Найдите величину

По определению частного из равенства  получаем: 4b + a = 3(b + a) или 4b + a = 3b + 3a, откуда b = 2а. Теперь найдем величину  подставив величину b = 2a. Имеем:

 

Пример 3

Известно, что  Докажите, что

Обозначим отношения a/b и c/d буквой х. Из равенства a/b = х получим a = bх, из равенства c/d = х имеем c = dx. Найдем отношение  и отношение Сравнивая полученные отношения (равные одной и той же дроби ), видим, что

 

Пример 4

При каких натуральных значениях n выражение  является целым числом?

В дроби  выделим целое выражение. Для этого в числителе дроби надо выделить слагаемое пропорциональное знаменателю  Тогда, учитывая правило вычитания дробей, можем записать:  Число 2 является целым. Поэтому, чтобы данная дробь была целым числом, надо, чтобы дробь  являлась целым числом. Это возможно только в том случае, если натуральное число n + 2 будет делителем числа 9. Число 9 имеет три натуральных делителя: 1, 3 и 9.

Рассмотрим эти случаи. При n + 2 = 1 получаем n = -1 (число отрицательное), что противоречит условию задачи. Для n + 2 = 3 находим n = 1. При n + 2 = 9 имеем n = 1. Итак, только при натуральных значениях n = 1 и n = 7 дробь  является целым числом. Убедимся в этом. Для n = 1 данная дробь равна  (целое число), при n = 7 дробь равна   (также целое число).

 

 

Пример 5

Найти целую и дробную часть в выражении

Аналогично предыдущей задаче в числителе дроби надо выделить слагаемые пропорциональные знаменателю, сгруппировав его члены. Получаем:

 

Тогда, учитывая правило сложения дробей, данное выражение можно записать в виде:      Таким образом, данное выражение  состоит из целой части 3х2 + 5х +1 и дробной части

Заметим, что в примерах 4 и 5 фактически было проведено деление одного многочлена на другой. Вопрос о делимости многочленов будет рассмотрен на следующем уроке.

 

IV. Задание на уроке и дома

1. Найти допустимые значения переменной и упростить дробь:

Ответы: а)  при х ≠ -4 и х ≠ -5,5;

б)  при х ≠ -5 и х ≠ -16/3;

в)  при х ≠ -4, x ≠ -3 и х ≠ -5,5;

г)  при х ≠ -1,5 и х ≠ -1;

 

2. Известно, что  Найдите:

Ответы: а) -1/3; б) 13/9; в) 13/5; г) (по условию задачи найти а = 2b).

3. Известно, что а2 + 9b2 = 6аb. Найдите:

Ответы: а) 11/4; б) 2; в) 5; г) 19/13 (по условию задачи найти a = -3b).

4. Известно, что  Докажите, что:

  (указание: обозначьте отношение  тогда а = bt и c = td).

5. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом:

Ответы: а) n = 1; б) n = 2; в) n = 2 и n = 4; г)n = 3 и n = 7 (указание: в данном дробном выражении выделите целую и дробную части).

6. При каких целых значениях п выражение также является целым числом:

Ответы: а) -4; -2; 0; 2; б) -3; 1; 3; 7; в) 1; 2; 4; 5; г) -11; -5; -3; 3.

7. В дробном выражении найдите целую и дробную части:

Ответы: а) целая часть 0, дробная часть

б) целая часть 0, дробная часть

в) целая часть 3, дробная часть 0;

г) целая часть 2, дробная часть 0;

д) целая часть 2, дробная часть

е) целая часть 2,5, дробная часть

ж) целая часть х - 1, дробная часть

з) целая часть 2х + 3, дробная часть

и) целая часть 3х2 - 5х + 2 , дробная часть

к) целая часть 2х2 + 3х +1, дробная часть  (указание: в числителе дроби выделить слагаемые пропорциональные знаменателю).

 

 

V. Подведение итогов урока






загрузка...
загрузка...