загрузка...

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 9 класс к учебнику А. Г. Мордковича - 2011 год

Глава 4. Прогрессии

Уроки 57-58. Числовые последовательности

Цель: привести основные понятия, связанные с последовательностями.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Определение числовой последовательности

Множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер, называют последовательностью.

Пример 1

а) В последовательности положительных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ... известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.

б) В последовательности правильных дробей с числителем 1  известно, что первое число равно 1/2, второе число равно 1/3, третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: у1, у2, у3, ..., уn, ... . Соответственно, член последовательности с номером n (или n-й член последовательности) обозначают уn, а саму последовательность - (уn).

Пример 2

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102; ...; 999. В ней у1 = 100, у2 = 101, у3 = 102, ..., у900 = 999. Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле уn = 99 + n, где n = 1, 2, 3, ..., 900.

Последовательность может содержать бесконечно много членов (пример 1). Такую последовательность называют бесконечной. Последовательность может содержать и конечное число членов(пример 2). Такую последовательность называют конечной.

2. Способы задания последовательностей

Последовательность необходимо задать, т. е. указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член. Рассмотрим основные способы задания последовательностей.

1. Аналитический способ (формула n-го члена)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру n ее член уn.

Пример 3

а) Пусть последовательность задана формулой уn = 3n - 2. Подставляя вместо п натуральные числа, находим члены последовательности:  и т. д. Имеем последовательность 1, 4, 7,....

б) Пусть последовательность задана формулой  Подставляя вместо n натуральные числа, находим члены последовательности:   и т. д. Имеем последовательность 0, 1, 0, 1, ... .

2. Аналитический способ (рекуррентная формула)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти следующие члены последовательности, если известны один или несколько предыдущих членов.

Пример 4

а) Пусть последовательность задана формулой  где y1 = 5 и n ≥ 1.

Запишем рекуррентную формулу для n = 1:  или у2 = 2 ∙ 5 + 3 = 13.

Пишем формулу для n = 2:  или у3 = 2 ∙ 13 + 3 = 29.

Запишем формулу для n = 3:  или у4 = 2 ∙ 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность 5, 13, 29, 61, ... .

б) Пусть последовательность задана формулой  где у1 = 1, у2 = 2 и n ≥ 1.

Запишем рекуррентную формулу для n = 1:  или  или

Пишем формулу для n = 2:  или  

Запишем формулу для n = 3:  или  или  и т. д.

Имеем последовательность 1, 2, 7, 20, 61, ... .

3. Описательный способ

Описывается способ получения членов последовательности.

Пример 5

а) Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел. Из описания последовательности легко выписать ее члены: 2, 4, 6, 8, ... .

б) Рассмотрим последовательность приближений по недостатку с точностью до п цифр иррационального числа π. Из описания последовательности выписываем ее члены: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3, 1415;...

3. Основные свойства последовательностей

Теперь рассмотрим два основных свойства последовательностей.

1. Ограниченность последовательности

Последовательность (уn) называют ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для любого натурального номера n выполнено неравенство m ≤ уn ≤ М.

Пример 6

Докажем ограниченность последовательности

Найдем первый член последовательности  и член последовательности с очень большим номером n, например  Возникает гипотеза, что последовательность ограничена и m = 0 и М = 1. Поэтому надо доказать, что при всех натуральных значениях n выполнено неравенство  Очевидно, что левая часть неравенства  выполняется. Рассмотрим правую часть неравенства  Так как выражение n + 2 положительно, то получаем неравенство n - 1 ≤ n + 2 или -1 ≤ 2, которое является верным.

2. Монотонность последовательности

Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего, т. е. уn+1 > уn для n ≥ 1.

Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего, т. е. уn+1 < уn для n ≥ 1.

Пример 7

Определим монотонность последовательности

Запишем (n + 1)-й член последовательности   Найдем разность двух соседних членов   Так как n - натуральное число, то при всех n дробь  положительна. Поэтому уn+1 – уn > 0 или уn+1 > уn при всех n. Тогда по определению данная последовательность (уn) возрастающая.

Как видно из этого урока, понятия последовательности и функции, их способы задания и свойства очень похожи. Поэтому последовательность (уn) можно рассматривать как функцию уnнатурального аргумента и, т. е. уn = f(n). Тогда автоматически возникают понятия ограниченности и монотонности последовательности.

III. Контрольные вопросы

1. Дайте определение последовательности.

2. Основные способы задания последовательности.

3. Ограниченность последовательности.

4. Монотонность последовательности.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 1; 6; 8; 10 (а); 12 (г); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в, г); 20 (а, б); 23 (в, г); 35 (а, б); 37 (в, г); 39 (а, б); 41 (г).

V. Задание на дом

§ 15, № 2; 7; 9; 10 (б); 13 (б); 16 (г); 18 (г); 19 (а, б); 20 (в, г); 23 (а, б); 35 (в, г); 37 (а, б); 39 (в, г); 41 (б).

VI. Творческие задания

1. Найдите четыре первых члена последовательности (an), если:

2. Докажите ограниченность последовательности (аn):

3. Определите монотонность последовательности (аn):

Ответы: а, д, ж) возрастающая; в, е) убывающая; б, г, з) немонотонная.

VII. Подведение итогов уроков





загрузка...
загрузка...