НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ - СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цель деятельности учителя

Создать условия для рассмотрения свойств прямоугольных треугольников, обучения решению задач на применение свойств прямоугольных треугольников

Термины и понятия

Треугольник, противолежащий угол, катеты, гипотенуза

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки.

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем.

Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной, групповой работы.

• Чертежи к задачам

I этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Совместная деятельность

Подготовить учащихся к восприятию новой темы

(Ф/И) Организует деятельность учащихся. 1. Решить задачи по готовым чертежам.

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Рассмотреть свойства прямоугольных треугольников

(Ф/И)

Можно сформулировать свойства прямоугольного треугольника в виде задач на доказательство и предложить учащимся решить их самостоятельно. (Задачу 1 можно предложить менее подготовленным учащимся, остальных детей разделить на два варианта и предложить варианту I решить задачу 2, варианту II - задачу 3. На решение задачи отводится 5-7 минут. Через 2-3 минуты от начала решения можно дать подсказку для решения задач 2 и 3: достройте свой треугольник до равностороннего с боковой стороной, равной гипотенузе.)

3адача 1.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Задача 2.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Задач а 3.

Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Необходимо заслушать различные способы решения данных задач, выбрать наиболее рациональный способ и отметить, что эти три утверждения являются свойствами прямоугольных треугольников

III этап. Решение задач на закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Научить применять изученные свойства при решении задач

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачи по готовым чертежам на доске (устно).

Дано: ΔАВС.

Найти: углы ΔАВС.

Дано: а || b.

Найти: углы ΔMON.

2. Решить задачу № 254 (устно).

3. Решить задачу № 255 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 257 на доске и в тетрадях.

(П) 5. Решить задачу № 260 (в парах).

(Г) 6. Решить задачи.

Задача 1.

Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 15°.

Задача 2.

В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне

№ 254.

Дано: ΔАВС - равнобедренный, ∠С = 90°, ∠Z = ∠B.

Найти: ∠А, ∠В.

Решение:

1) ∠А + ∠В = 90° (свойство прямоугольного треугольника), ∠А = ∠В, следовательно, ∠А = ∠В = 90° : 2 = 45°.

Ответ: 45°, 45°.

№ 255.

Дано: ΔCDE - равнобедренный, CD = DE, СЕ - высота, ∠D = 54°.

Найти: ∠ECF.

Решение:

1) Так как CD = DE, то ∠С = ∠Е. ∠С + ∠Е = 180° - AD (по свойству суммы углов треугольника); ∠С + ∠Е = 180° - 54°, АС = АЕ = 126° : 2 = 63°.

2) ∠FCD = 90° - ∠D (по свойству прямоугольного треугольника); ∠FCD = 90° - 54° = 26°.

3) ∠ECF = ∠С - ∠FCD, ∠ECF = 63° - 26° = 37°.

Ответ: 37°.

№ 257.

Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, внешний угол при ∠A = 120°, АС + АВ = 18 см.

Найти: АС, АВ.

Решение:

1) По свойству смежных углов, ∠BAC = 180° - 120° = 60°.

2) ∠B = 90° - ∠A (по свойству прямоугольного треугольника), ∠B = 90° - 60° = 30°, и тогда, по свойству прямоугольного треугольника

3) АС + АВ = 18, АВ = 2АС, тогда АС + 2АС = 18, тогда АС = 6 см. AB = 2 ∙ 6 = 12 см.

Ответ: 6 см, 12 см.

№ 260.

Дано: ΔABC - равнобедренный, АВ = ВС = 15,2 см, ВВ₁ - высота, ВВ₁ = 7,6 см.

Найти: углы ΔАВС.

Решение:

1) так как значит, по свойству прямоугольного треугольника, ∠BCB₁ = 30°.

2) Так как ΔАВС - равнобедренный, то ∠BAC также 30°, a ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°.

Ответ: 30°, 30°, 120°.

Задача 1.

Решение:

CD - биссектриса, СН - высота, ∠DCH = 15°, ∠DCA = 45°, тогда ∠HCA = 30°.

ΔНСА - прямоугольный, в нем ∠HCA = 30°, тогда ∠CAH = 60°.

ΔАВС - прямоугольный, в нем ∠A = 60°, тогда ∠B = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 2.

Решение:

120° - угол при вершине равнобедренного треугольника, тогда ∠A = ∠C = 30°.

АН - высота ΔАВС, тогда ΔАНС - прямоугольный, в нем ∠C = 30°, значит,

Ответ: 2 см

IV этап. Итоги урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Какие свойства прямоугольных треугольников узнали на уроке?

- Оцените свою работу на уроке и работу своих товарищей в группе

(И) Домашнее задание: выучить материал пунктов 30-35; ответить на вопросы 1-9 на с. 88; решить задачи № 242, 250 (б, в)