Возведение в куб суммы и разности двух выражений - КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: вывести формулы для возведения в куб суммы или разности чисел (выражений).

Планируемые результаты: научиться пользоваться формулами куба суммы и куба разности.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при b = 1/2.

4. Найдите значение выражения

Вариант 2

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при а = -1/2.

4. Найдите значение выражения

III. Работа по теме уроков

Приведем еще две формулы сокращенного умножения, позволяющие возводить в куб сумму или разность двух чисел (выражений).

Тождество (1) называют формулой куба суммы. В соответствии с ней куб суммы двух чисел (выражений) равен кубу первого числа (выражения) плюс утроенное произведение квадрата первого числа (выражения) и второго плюс утроенное произведение первого числа (выражения) и квадрата второго плюс куб второго числа (выражения).

Получим формулу (1) алгебраическим способом.

Используя свойства степеней и формулу квадрата суммы, получаем

Заметим, что формула (1) может быть получена и геометрическим способом. Для этого необходимо рассмотреть объемы параллелепипедов.

Формула куба разности имеет аналогичный вид:

В соответствии с формулой (2) куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Формулу (2) можно вывести аналогично формуле (1):

Заметим, что формула (2) может быть непосредственно получена из формулы (1):

Пример 1

Возведем в куб число 101.

Используя формулу (1), получаем

Пример 2

Возведем в куб число 99.

Используя формулу (2), получаем

Пример 3

Возведем в куб двучлен 2а + 3b.

Используя формулу (1), получаем

Пример 4

Возведем в куб двучлен а³ – 2b².

Используя формулу (2), получаем

Пример 5

Упростим выражение

Используя формулу (2) и раскрыв скобки, получаем

Заметим, что формулы (а + b)² и (а + b)³, (а - b)² и (а - b)³ являются частными случаями формул (а + b)ⁿ и (а - b)ⁿ для n = 2 и n = 3 (бином Ньютона). Поэтому существуют определенные закономерности в этих формулах. Приведем еще раз формулы (а + b)ⁿ и (а - b)ⁿ для n = 1, 2, 3.

n	(а + b)n	(а - b)n
1	а + b	а - b
2	а2 + 2ab + b2	а2 - 2ab + b2
3	а3 + 3а2b + 3аb2 + b3	а3 - 3а2b + 3аb2 - b3

Отметим закономерности этих формул:

1. При возведении суммы или разности двух чисел в n-ю степень получается однородный многочлен n-й степени, т. е. многочлен, состоящий из одночленов только n-й степени. Количество членов в многочлене равно n + 1. Например, при возведении а + b в квадрат получается однородный многочлен второй степени, состоящий из трех членов.

2. Получающийся однородный многочлен начинается с аⁿ. В следующем члене степень а уменьшается на единицу, но появляется множитель b. В следующем члене опять степень а уменьшается на единицу, степень b увеличивается на единицу и так до тех пор, пока степень b не будет равна n.

3. При такой записи получающегося многочлена крайние члены имеют коэффициенты 1, остальные члены — коэффициенты n (только при n = 2, 3). Например, при возведении в куб суммы а + b коэффициенты последовательно равны 1, 3, 3, 1.

4. При возведении в п-ю степень суммы а + b все коэффициенты имеют знак “плюс”. При возведении разности а - b знаки коэффициентов чередуются, начиная со знака “плюс”.

Например, при возведении разности а - b в куб коэффициенты последовательно равны 1, -3, 3, -1.

5. Все сказанное справедливо только при n = 1, 2, 3. Начиная с n = 4 закономерности становятся сложнее.

IV. Задания на уроках и на дом

1. Используя соответствующие формулы, найдите:

а) 31³;

б) 28³;

в) 52³;

г) 49³.

Ответы: а) 29 791; б) 21 952; в) 140 608; г) 117 649.)

2. Вычислите:

(Ответы:

3. Решите уравнение:

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти куб суммы, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба суммы алгебраическим способом.

— Сформулируйте словами, как найти куб разности, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба разности алгебраическим способом.

VI. Подведение итогов уроков